Esse material deve servir de apoio ao curso de Elementos de Matemática. Os estudantes devem considerar esse material como uma sugestão de estudo. Obviamente, o estudante que ler o material antes da aula aprenderá mais facilmente o assunto.
Plano de Ensino
Pegue seu plano de ensino aqui.
Séries de exercícios
O aluno deve considerar fazer três tipos de exercícios para aprender bem o conteúdo. O primeiro grupo de exercícios consiste dos exercícios apresentados ainda em sala de aula no quadro que são resolvidos em conjunto com o professor e colegas, que usualmente complementam o conteúdo de sala de aula. O segundo grupo de exercícios consiste de exercícios que aparecem nas referências complementares ao curso. O terceiro grupo de exercícios é formado por séries de exercícios que serão apresentados no fim de cada tópico. Alguns dos exercícios dessa séries tem o propósito de revisar a teoria (primeiro tipo) e outros têm o propósito de fazer o aluno pensar sobre a teoria (segundo tipo). Alguns desses exercícios (segundo tipo) podem ser consideradas difíceis e, por isso, todos têm uma solução. Eles são importantes pois fazem os estudantes pensarem com mais cuidado sobre o que aprenderam. Se você não conseguir resolver todos, não desanime. Escreva o problema e tente entendê-los: (1) Qual a definição usada pare resolver esse problema? Você deveria lembrar dessa definição? (2) Quais propriedades foram usadas? Você deveria conhecer essas propriedades? E agora, você conseguiu? Se ainda não conseguiu, refaça as mesmas perguntas para entender porque não conseguiu. É válido ainda mencionar que as soluções desses exercícios foram postadas no PRorum.com. Logo, a ferramenta de comentários desse forum pode ser usada para esclarecer algum detalhe da resolução que não tenha ficado claro.
O aprendizado da disciplina depende fortemente da disposição do estudante interessado em resolver exercícios por conta própria.
Plano de Estudo de Álgebra Linear
Qualquer livro de Álgebra Linear que o aluno se sinta confortável é suficiente para acompanhar essa parte do curso. Entretanto, aqui nesse material vamos focar em dois livros. O primeiro pela didática e simplicidade e o segundo pela comodidade (ele será usado praticamente em toda a segunda parte do curso):
Ref1: Introdução à Álgebra Linear - Adilson Gonçalves e Rita M. L. de Souza [Adilson]
Ref2: Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume (já disponível em português) [Simon]
É válido mencionar que o livro [Simon] não segue uma ordem muito didática para os assuntos de álgebra linear e não tem uma apresentação adequada de todos os tópicos, mas pode servir como uma excelente referência complementar. Além disso, ele é uma excelente fonte de aplicações.
Tópico 1: Vetores
Leituras:
[Adilson] Capítulo 1 até a seção 1.6
[Adilson] Para ter uma visão geométrica, veja o resto do capítulo 1.
[Simon] Capítulo 10
Exercícios repetitivos: Veja Seções 1.2 a 1.5 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Um vetor é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia. Por exemplo, pode falar em vetor de preços de n coordenadas quando nos referimos a cesta de consumo de n produtos ou a um mercado financeiro com n ativos.
Tópico 2: Matrizes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 2
[Simon] Capítulo 8
Exercícios repetitivos: Veja Seções 2.2 a 2.7 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Uma matriz também é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia.
Matrizes de dados serão muito usadas em econometria, onde cada coluna guardará dados de uma determinada variável aleatória de interesse. Por exemplo, imagine que você quer explicar o salário de um indivíduo usando variáveis relacionadas com o indivíduo. Quais as variáveis que você acredita que podem explicar o salário do indivíduo? Suponha que você acredite que escolaridade, gênero, escolaridade da mãe são variáveis que podem explicar o salário. Então você pode construir uma matriz de dados que inclui essas variáveis em cada coluna.
Em finanças, matrizes também são usadas para guardar payoffs dos ativos em um mercado financeiro. Por exemplo, suponha que o mercado tenha J ativos e seja modelado por S estados. Então, uma matriz de ordem S x J pode ser usada para guardar esses ativos. Veja por exemplo esse modelo nas notas de aula do curso de finanças.
Outras matrizes importantes que aparecem muito em Econometria e Finanças são as Matrizes de Variância-Covariância. Por exemplo, a teoria básica de escolha de carteiras supõe que investidores desejam construir carteiras que possuem altos valores esperados e baixas variâncias. Um conceito fundamental que aparece nesse contexto é a idéia de diversificação. Veja um exemplo simples sobre esse assunto no PRorum.
Tópico 3: Operações Elementares/Sistemas Lineares
Leituras:
[Adilson] Capítulo 3: Seções 3.1, 3.2 e 3.3.
[Strang] Para uma visão geométrica, veja o Capítulo 1: Seções 1.1 a 1.5.
[Simon] Capítulos 6 e 7
Exercícios repetitivos: Veja Seções 3.2 a 3.11 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Existem várias aplicações de sistemas lineares em Economia.
Por exemplo, em finanças a solução de sistemas lineares pode ser usada para caracterizar se um mercado financeiro é completo ou incompleto. Veja por exemplo essa caracterização nas notas de aula do curso de finanças.
Uma outra aplicação super interessante é o cálculo do Page Rank ou do modelo de Leontief usado em análise de Insumo-Produto. Veja por exemplo um post sobre esse assunto no PRorum
Tópico 4: Inversa de matrizes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 3: Seção 3.4.
[Simon] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 3.12 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
A idéia de inversão de matrizes aparece muito em econometria em vários contextos diferentes. Por exemplo, o estimador mais popular de um Modelo de Regressão Linear, conhecido como método dos mínimos quadrados, dependem explicitamente de uma inversão.
Tópico 5: Determinantes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 5: Seções 5.1, 5.2, 5.3 e 5.5.
[Simon] Capítulos 9 e 26.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 8.2 a 8.8 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Os determinantes aparecem como ferramenta básica em várias situações no curso de economia. No nosso curso de Economia Quantitativa I, determinantes podem ser usadas como uma ferramenta importante de caracterização de matrizes quadradas. Se o determinante de uma matriz A de ordem n é nulo, o sistema linear Ax=0 possui infinitas soluções, o núcleo de A contém infinitos elementos e a imagem de T(x)=Ax não é o Rn.
No nosso curso também usaremos determinantes também para caracterizar se uma matriz é positiva ou negativa definida e isso será fundamental para verificar as condições de segunda ordem de um problema de otimização.
Tópico 6: Espaços vetoriais
Leituras:
[Adilson] Capítulo 4: Seções 4.1 a 4.4.
[Simon] Seções 27.1, 27.2 e 27.6
Exercícios repetitivos: Veja Seções 4.2 a 4.8 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Um espaço vetorial é um conjunto com certa estrutura que é usado em muitas situações em economia. A grande maioria dos problemas importantes em economia está definido em espaços vetoriais ou em translações desses espaços, ou seja, a solução pertence a um determinado espaço vetorial ou uma translação desse espaço. Por exemplo, o Rn é um espaço vetorial. A solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial e a solução de um sistema linear não homogêneo é a translação de um subespaço vetorial.
Em finanças, um subespaço vetorial particularmente importante é aquele subespaço gerado pelo payoff de todos os ativos do mercado. Veja aqui a definição exata desse subespaço nas notas de aula do curso de finanças. Qual a relevância de um determinado direito contigente pertencer ou não a esse subespaço? Por exemplo, considerados dados os preços dos ativos, eu consigo encontrar um único preço para qualquer direito contigente que pertence a esse subespaço. Se ele não pertencer, o que ocorre?
Tópico 7: Transformações lineares, Operadores Lineares e Funcionais Lineares
Leituras:
[Adilson] Capítulo 6: Seções 6.1, 6.2 e 6.3
[Simon] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 5.2 a 5.4 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Transformações lineares aparecem em muitas situações no curso de economia. No curso de finanças, o funcional de apreçamento é um funcional linear. Veja aqui a definição exata desse funcional nas notas de aula do curso de finanças.
Plano de Estudo de Topologia no Rn, Cálculo de Várias Variáveis, Análise Convexa e Otimização
Para esse plano de estudo, vou focar apenas no livro Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume [Simon]. Também citarei bastante as notas do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme de Lara Resende do Departamento de Economia da UnB, que vocês usarão no próximo semestre, pois existe um link muito forte entre essa parte do curso e o curso de Microeconomia I.
Para motivar essa parte do curso, eu sugiro que antes da aula, vocês leiam a primeira aula do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme, que você pode acessar aqui.
Tópico 1: Topologia no RN
Leituras:
[Simon] Capítulo 12
Aplicações
Vários dos conjuntos definidos aqui nesse tópico serão usados em vários lugares do curso de economia. Por exemplo, a noção de conjuntos compactos será usada para a discussão do teorema de Weierstrass, que aparece no tópico 7 (a seguir). Em microeconomia I, por exemplo, a noção de conjuntos fechados é usada para discutir o axioma de continuidade na aula sobre Preferências. Veja por exemplo as notas de aula do Professor José Guilherme associada a esse tópico aqui.
Tópico 2: Funções Várias Variáveis (Lineares, Formas Quadráticas, Polinômios, Funções Contínuas, Funções Homogêneas e Homotéticas, Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas)
Leituras:
[Simon] Capítulo 13, Capítulo 20: Seções 20.1 e 20.4, Capítulo 21: Seções 21.1, 21.2 e 21.3
Aplicações
Várias das funções apresentadas aqui são usadas extensivamente nos cursos de Economia.
Funções Homogêneas e Homotéticas aparecem por exemplo em Microeconomia I. Por exemplo, a função de Demanda Marshalliana é uma função homogênea de grau 0. Por outra lado, várias funções de utilidade que aparecem no curso de Microeconomia I são homotéticas. Veja as aulas de Microeconomia que apresentam essa informação aqui e aqui.
Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas também aparecem em Microeconomia I. Em geral funções de utilidade são côncavas ou quase-côncavas (quando as preferências forem convexas), curvas de indiferença são (estritamente) convexas etc.
Polinômios quadráticos aparecem em econometria. Veja por exemplo aqui o problema de otimização que precisamos resolver para encontrar os parâmetros de um modelo de regressão linear. Também usaremos polinômios quadráticos em nosso curso para caracterizar as condições de segunda ordem de um problema de otimização interior (sem restrições).
Tópico 3: Derivada parcial/Diferencial
Leituras:
[Simon] Capítulo 14: Seções 14.1 a 14.4 e 14.8
Exercícios repetitivos: Veja Seções 5.1 a 5.3 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Aplicações
Derivadas parciais e diferenciais aparecem em muitos lugares no Curso de Economia. Usamos derivadas para resolver problemas de otimização que será um procedimento comum em Microeconomia I, para definir elasticidades etc. O diferencial total aparece por exemplo na definição da Taxa Marginal de Substituição. Veja exemplo de derivadas e diferenciais totais usados no curso de Microeconomia aqui.
Tópico 4: Cálculo de várias variáveis (Regra da cadeia)
Leituras:
[Simon] Seção 14.5
Aplicações
É uma ferramenta básica de cálculo que aparece em vários contextos. Por exemplo, no Estudo da Teoria do Consumidor em Microeconomia usamos essa "regra" para derivar por exemplo a equação de homogeneidade. Veja aqui.
Tópico 5: Cálculo de várias variáveis (Polinomios de Taylor)
Leituras:
[Simon] Seções 30.2 e 30.3
Aplicações
Polinomios de Taylor são usados em várias situações. No nosso curso, usaremos esses polinômios para estudar as condições de segunda ordem de um problema de otimização irrestrito (interior).
Tópico 6: Cálculo de várias variáveis (Funções implícitas)
Leituras:
[Simon] Seção 15.1
Aplicações
Funções implícitas aparecem em várias situações. Veja por exemplo aqui.
Tópico 7: Introdução a Otimização
Leituras:
[Simon] Seção 17.1 e 30.1 (Apenas o tópico relacionado com o Teorema de Weierstrass)
Aplicações
Usamos o teorema de Weierstrass em várias situações em Economia quando desejamos garantir a existência da solução de um problema de otimização, sem precisar especificar a forma da função que desejamos otimizar e/ou resolvê-lo.
No curso de Microeconomia I, pode-se garantir a existência da Função de Utilidade Indireta utilizando o Teorema de Weierstrass sempre que a função de utilidade for contínua.. Veja esse conteúdo nas Notas de Microeconomia I do Professor José Guilherme.
No curso de finanças usamos esse resultado para mostrar que na ausência de arbitragem, sempre existe uma solução para o problema de otimização de carteira. Veja aqui os slides associados a esse teorema.
Otimização em geral é uma ferramenta básica de Microeconomia e Econometria.
Tópico 8: Condições de Primeira Ordem
Leituras:
[Simon] Seções 17.2
Aplicações
Usamos as condições de primeira ordem para encontrar os pontos críticos.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.4 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Tópico 9: Formas Quadráticas e Condições de Segunda Ordem
Leituras:
[Simon] Capítulo 16: Seções 16.1 e 16.2
Aplicações
Usamos as condições de segunda ordem para caracterizar os pontos críticos.
Tópico 10: Otimização de funções Concavas/Convexas
Leituras:
[Simon] Seção 21.5
Aplicações
Como já mencionado, muitas das funções usadas no nosso curso são côncavas ou convexas e elas possuem particularidades que devem ser explicitadas.
Tópico 11: Otimização restrita (Segunda Ordem)
Leituras:
Seção 18.2
Aplicações
O problema do Consumidor estudado em Microeconomia é exatamente um problema desse tipo. Veja aqui a aula do Professor José Guilherme relacionada com esse assunto.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.5 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Tópico 12: Teorema do Envelope
Leituras:
[Simon] Seções 19.1 e 19.2
Aplicações
Existem em Microeconomia várias aplicações do teorema do Envelope.
