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Thursday, October 10, 2019

Aula 20 de Finanças (2019): CAPM

Na nossa vigésima aula de finanças apresentamos o CAPM, sua estimação e iniciamos a discussão sobre a seção transversal dos retornos dos ativos. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner

The Econometrics of Financial Markets - John Y. Campbell, Andrew W. Lo and A. Craig MacKinlay [Cap. 5 e 6]

E. F. Fama and K. R. French. The capital asset pricing model: theory and evidence. Journal of Economic Perspectives, v. 18, p. 25-46, 2004.

Aula 19 de Finanças (2019): Teoria Média-Variância

Na nossa décima nona aula de finanças apresentamos Teoria Média Variância. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner

Soluções de Exercícios

1. Kernels de valor esperado e apreçamento e a definição da fronteira média-variância

2. Fronteira média variância definida a partir de um retorno relacionado com os retornos em excesso e o kernel de apreçamento

4. Teorema de diversificação de Markovitz

5. Teorema de diversificação de Samuelson

5. Teorema de diversificação de Samuelson

6. Carteira formada por dois ativos não correlacionados

7. Carteira de Markovitz

8. Cholesky

9, 10, 11 Cálculo da fronteira média-variância

12. Determinação numérica da fronteira média-variância


Aula 18 de Finanças (2019): Kernels

Na nossa décima sétima aula de finanças apresentamos alguns kernels que serão úteis para representar a fronteira média variância. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner

Soluções

Kernels de valor esperado e apreçamento em mercados incompletos

Aula 17 de Finanças (2019): Espaços de Hilbert

Na nossa décima sétima aula de finanças apresentamos noções de Espaços de Hilbert. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner

Introductory Functional Analysis with Applications - Erwin Kreyszig

Applied Functional Analysis - D.H. Griffel

Exercícios

Exercício 1

Norma

Exercício 2

Sistema Ortogonal

Exercício 3

Bessel

Exercício 4

Espaço de Sequências

Exercício 5

Ortogonalização

Exercício 6

Conjuntos ortornormais

Aula 16 de Finanças (2019): Aversão ao Risco

Na nossa décima sexta aula de finanças discutimos aversão ao risco. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner

St. Petersburg paradox

Referências do St. Petersburg paradox

Aula 15 de Finanças (2019): Noções de Finanças em tempo contínuo e a Fórmula de Black-Scholes

Na nossa décima quinta aula de finanças introduzimos noções de Finanças em tempo contínuo e discutimos a Fórmula de Black-Scholes. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Paul Wilmott - Mathematics of Financial Derivatives

Paul Glasserman - Monte Carlo Methods in Financial Engineering

Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications - Bernt Øksendal

Methods of Mathematical Finance - Ioannis Karatzas and Steven Shreve

Soluções de Exercícios

Como usar simulações do Modelo Browniano Geométrico para apreçar um contrato de opção Europeia?

Wednesday, September 25, 2019

Aula 14 de Finanças (2019): Avaliação de investimentos sob incerteza

Na nossa décima quarta aula de finanças discutimos a avaliação de investimentos sob incerteza e opções reais. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Real Options, Revised Edition: A Practitioner’s Guide - Tom Copeland and Vladimir Antikarov

Investment under Uncertainty - Avinash K. Dixit and Robert S. Pindyck

Real Options and Investment under Uncertainty: Classical Readings and Recent Contributions - Eduardo S. Schwartz e Lenos Trigeorgis (Editores)

Soluções de exercícios

Exercício 1a

Opção de contração

Exercício 1b

Opção de expansão

Exercício 1c

Opção de abandono

Exercício 2a

Opção de abandono

Aula 13 de Finanças (2019): Modelo Binomial

Na nossa décima terceira aula de finanças discutimos o modelo binomial. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model - Steven Shreve

Introduction to Mathematical Finance: Discrete Time Models - Stanley R. Pliska

Options, Futures, and Other Derivatives - John C. Hull

Cox, J. C.; Ross, S. A.; Rubinstein, M. (1979). "Option pricing: A simplified approach". Journal of Financial Economics. 7 (3): 229.

Option pricing:simplified approach

Binomial option pricing and Black-Scholes

Soluções de Exercícios

Exercício 2:

Como apreçar opções americanas usando o modelo binomial

Exercício 3:

Como apreçar opções asiáticas usando o modelo binomial

Friday, September 20, 2019

Aula 12 de Finanças (2019): Efeitos das restrições nas carteiras

Na nossa décima segunda aula de finanças discutimos os efeitos das restrições nas carteiras no problema de escolha dos agentes e na avaliação de direitos contigentes. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner

Soluções de exercícios

Escolha com restrições de venda à descoberto

Aula 11 de Finanças (2019): Probabilidades neutras ao risco

Na nossa décima primeira aula de finanças discutimos probabilidades neutras ao risco. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner

Asset Pricing - John H. Cochrane

Theory of Financial Decision Making - Jonathan E. Ingersoll

Soluções de Exercícios

Exercício 1:

O cone convexo gerado pelas colunas de uma matriz é um conjunto fechado?

Exercício 2:

Equilíbrio e probabilidades neutras ao risco

Exercício 3:

Equilíbrio e probabilidades neutras ao risco

Aula 10 de Finanças (2019): Apreçamento em Mercados Incompletos

Na nossa décima aula de finanças discutimos apreçamento em mercados incompletos. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner

Asset Pricing - John H. Cochrane

Theory of Financial Decision Making - Jonathan E. Ingersoll

Soluções de Exercícios

Exercício 3:

Apreçamento em mercados incompletos

Exercício 4:

Limitantes

Exercício 5:

Equilíbrio em mercados incompletos

Aula 9 de Finanças (2019): Interlúdio - Programação Linear

Na nossa nona aula de finanças introduzimos o tema de programação linear. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Linear Programming 1: Introduction - George B. Dantzig and Mukund N. Thapa

Linear Programming 2: Theory and Extensions - George B. Dantzig and Mukund N. Thapa

Understanding and Using Linear Programming - Jiri Matousek and Bernd Gärtner

Introduction to Linear Optimization - Dimitris Bertsimas and John N. Tsitsiklis

Material Suplementar

Row rank equals column rank

Soluções de exercícios


Exercício 2:

Regressão quantílica

Exercício 3:

Simplex no Python

Exercício 4:

Convexidade e programação linear

Exercício 5:

DEA

Exercício 7:

Solução gráfica

Exercício 8

Solução gráfica

Exercício 9b

Maior disco em um polígono convexo


Aula 8 de Finanças (2019): Interlúdio - Métodos de Monte Carlo

Na nossa oitava aula de finanças introduzimos técnicas de Monte Carlo. Esses são os slides usados em sala.


Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:

Relação entre as áreas do círculo e quadrado

Consistência do OLS

Album de figurinhas

Referências

Numerical methods in economics - Kenneth Judd [Capítulo 8]

Introdução aos métodos estatísticos para economia e finanças - Alexandre Carvalho, Daniel Cajueiro e Reinaldo Camargo.

Referências adicionais

Estatística sem Mistério


Soluções de Exercícios

Questão 1: Como são gerados os números aleatórios?

Questão 3 (a): Monte Carlo

Questão 3 (c): Monte Carlo

Questão (d): Monte Carlo

Questão (e): Monte Carlo




Aula 7 de Finanças (2019): Interlúdio - Programação Orientada a Objeto

Na nossa sétima aula de finanças discutimos Noções de Programação Orientada a Objeto. Esses são os slides usados em sala.


Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:

Exemplo de Classes

Exemplo de encapsulamento

Exemplo de sobrecarga de operadores

Exemplo de polimorfismo

Exemplo de herança

Exemplo de classe abstrata

Referências Adicionais para essa aula:

1. Usuários de Python podem ter interesse em olhar:

Think Python - Allen Downey

2. Usuários de C++ podem ter interesse em olhar:

Think C++

3. Usuários de Java podem ter interesse em olhar:

Intro to Java Programming

Soluções de exercícios

Exercício 5 (a):
M sets


Exercício 5 (b):
Julia sets

Exercício 6:
Alocação de carteiras

Exercício 7:
Círculos



Saturday, September 7, 2019

Aula 6 de Finanças (2019): Interlúdio - Noções de Programação Computacional em Python (Recursões)

Na nossa sexta aula de finanças discutimos recursões. Esses são os slides usados em sala.


Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:

Implementações da sequencia de Fibonacci

Implementações do fatorial de um número

Solução da Torre de Hanoi

Referências:

Think recursively - Eric S. Roberts

Persian Recursion Anne M. Burns Mathematics Magazine Vol. 70, No. 3 (Jun., 1997), pp. 196-199

The Algorithmic Beauty of Plants - Przemyslaw Prusinkiewicz and Aristid Lindenmayer (1991)

Introduction to recursive programming - Manuel Rubio Sanchez

Mathematical puzzles and diversions (Volume 2) - Martin Gardner

Referências Adicionais para essa aula:

1. Usuários de Python podem ter interesse em olhar:

Think Python - Allen Downey: Capítulo 5.

2. Usuários de C++ podem ter interesse em olhar:

Think C++: Capítulo 4.


Soluções da série de exercícios


Observação: Vários dos exercícios abaixo usam a idéia de Turtle Graphics discutida aqui.

Algoritmo de Euclides [Questão 5 dos slides]

Árvores usando recursão [Questão 6 dos slides]



Pinturas de Mondrian usando recursão [Questão 7 dos slides]


Sierpinski Gasket [Questão 8]

Ilhas de Koch [Questão 9(a)]

Ilhas de Koch 2 [Questão 9(b)]

Gosper Hexagonal Curve [Questão 9(c)]

L-systems [Questão 9(d)]

Tree OL Systems 2 [Questão 9(e)]

Tree OL Systems [Questão 9(f)]

Tree OL Systems [Questão 9(g)]

Tree OL Systems [Questão 9(g) - solução 2]

Tree OL Systems [Questão 9(i)]

Tree OL Systems [Questão 9(m)]

Tree OL Systems [Questão 9(o)]

Tree OL Systems [Questão 9(r)]

Tree OL Systems [Questão 9(s)]

Como implementar persian recursions [Questão 10(a) e 10(b)]

Triangulo de Sierpinski [Questão 11(a)]

Curva de Hilbert [Questão 11(b)]

Árvore binária [Questão 11(c)]

Tabuleiro [Questão 11(d)]

Combinações no jogo de basquete [Questão 11(e)]

Soma de bits [Questão 11(f)]

Números de Catalan [Questão 11(g)]

Números de Catalan [Questão 11(g)]

Árvore binária [Questão 11(h)]

Pirâmides [Questão 11(i)]

John-Mary [Questão 11(j)]



Tuesday, September 3, 2019

Aula 5 de Finanças (2019): Interlúdio - Noções de Programação Computacional em Python (Coleções)

Na nossa quinta aula de métodos computacionais discutimos coleções básicas de dados. Esses são os slides usados em sala.

Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:

Como usar sequências de dados ou arrays em programação estruturada?

Como usar conjuntos ou sets em programação computacional?

Como usar mapas (maps) ou dicionários em programação computacional?

Soluções de exercícios

Como implementar o produto de matrizes? [Considere apenas a solução convencional nessa resposta. As outras serão discutidas mais para frente no curso]

Como fatorar um número inteiro?

Aula 4 de Finanças (2019): Interlúdio - Noções de Programação Computacional em Python

Nós tivemos nossa quarta aula de finanças. Esses são os
slides usados em sala de aula.

Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:

Exemplo de Controle de Fluxo usando Condicionais

Exemplo do uso do Loop For em um programa computacional

Exemplo do uso do Loop While em um programa computacional

Referências Adicionais para essa aula:

1. Usuários de Python podem ter interesse em olhar:

Think Python - Allen Downey

2. Usuários de C++ podem ter interesse em olhar:

Think C++

Alguns links externos relacionados com essa aula:

Qual o propósito de incluir "if __name__ == '__main__':" em python?

Computação Humana

Page Rank

Melhores livros de Python


Soluções das séries de exercício:

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Questão 7 (a)

Questão 8

Tuesday, August 27, 2019

Aula 3 de Finanças (2019) - Ausência de oportunidades de arbitragem

Essa é a terceira aula do Curso de Finanças do Programa de Doutorado em Economia da UnB. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner

Asset Pricing - John H. Cochrane

Theory of Financial Decision Making - Jonathan E. Ingersoll


Soluções de Exercícios

Exercício 3:

Conjunto de preços livres de arbitragem em um mercado incompleto


Exercício 5:

Conjunto de preços livres de arbitragem em um mercado incompleto

Friday, August 23, 2019

Aula 2 de Finanças (2019) - Lei do Preço Único

Essa é a segunda aula do Curso de Finanças do Programa de Doutorado em Economia da UnB. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner

Asset Pricing - John H. Cochrane

Theory of Financial Decision Making - Jonathan E. Ingersoll


Exercícios


3)

Contrato de opções em mercados incompletos

Wednesday, August 21, 2019

Aula 1 de Finanças (2019) - Mercado de Ativos, Escolha do Agentes e Equilíbrio

Essa é a primeira aula do Curso de Finanças do Programa de Doutorado em Economia da UnB. Esses são os slides usados em sala.

Grande parte dos pre-requisitos matematicos, você pode encontrar
aqui.

Como resolver exercícios?.

Referências

Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner

Asset Pricing - John H. Cochrane

Theory of Financial Decision Making - Jonathan E. Ingersoll

Referências Complementares de Otimização

Dê uma olhada aqui.


Referências Complementares de Álgebra Linear

Dê uma olhada aqui.

Você particularmente poderá querer responder essa pergunta:

O que você gostaria que tivesse no seu livro de álgebra linear e não tinha?.

Soluções de Exercícios

1)

Qual é a solução do problema de escolha dos agentes supondo que não existe consumo na data 0?

2)

Equilíbrio em um mercado com dois ativos com dois estados e dois agentes

3)

Quando um estado é segurável?

4)

Equilíbrio: 2 períodos sem incerteza

5)

Equilíbrio: Heterogeneidade nas dotações iniciais


6)

Equilíbrio: Heterogeneidade nas preferências

7)

Equilíbrio: Heterogeneidade nas preferências


9)

Equilíbrio: Heterogeneidade nas preferências

Monday, August 5, 2019

Material de Apoio ao curso de Metodos Matematicos e Computacionais para Finanças

Esse material deve servir de apoio ao curso de Métodos Matemáticos e Computacionais para Finanças. Os estudantes devem considerar esse material como uma sugestão de estudo. Obviamente, o estudante que ler o material antes da aula aprenderá mais facilmente o assunto.

Plano de Ensino

Pegue seu plano de ensino aqui.

Séries de exercícios

Essa série de exercícios foi elaborada para o estudante que já domina os exercícios repetitivos:

Série de exercícios de fixação.

O aprendizado da disciplina depende fortemente da disposição do estudante interessado em resolver exercícios por conta própria.

Plano de Funções de uma variável

Para esse plano de estudo, vou focar apenas nos livros

1) Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume [Simon].

2) Business calculus (Demystified) Rhonda Huettenmueller [Demystified]

Tópico 1: Limites e derivadas.

Leituras:

[Simon] Capítulo 2, 3, 4 e 5.

[Demystified] Capítulos 2 e 3.

Exercícios repetitivos: Veja Seções 3.1 a 3.8 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Edward Dowling.

Slides

Aula 1.

Tópico 2: Integração.

Leituras:

[Demystified] Capítulos 13, 14 e 15.

Exercícios repetitivos: Veja Seções 14.1, 14.2, 15.1, 15.2, 15.3 e 15.4 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Edward Dowling.

Slides

Aula 2.


Plano de Estudo de Álgebra Linear

Qualquer livro de Álgebra Linear que o aluno se sinta confortável é suficiente para acompanhar o curso. Entretanto, aqui nesse material vamos focar em três livros. O primeiro pela didática e simplicidade, o segundo pela apresentação geométrica e o terceiro pela comodidade (ele será usado praticamente em toda a segunda parte do curso):

Ref1: Introdução à Álgebra Linear - Adilson Gonçalves e Rita M. L. de Souza [Adilson]

Ref2: Introduction to Linear Algebra - Gilbert Strang [Strang]

Ref3: Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume (já disponível em português) [Simon]

É válido mencionar que o livro [Simon] não segue uma ordem muito didática para os assuntos de álgebra linear e não tem uma apresentação adequada de todos os tópicos, mas pode servir como uma excelente referência complementar. Além disso, ele é uma excelente fonte de aplicações.


Tópico 1: Vetores

Leituras:

[Adilson] Capítulo 1 até a seção 1.6

[Adilson] Para ter uma visão geométrica, veja o resto do capítulo 1.

[Simon] Capítulo 10

Exercícios repetitivos: Veja Seções 1.2 a 1.5 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.

Aplicações

Um vetor é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia. Por exemplo, pode falar em vetor de preços de n coordenadas quando nos referimos a cesta de consumo de n produtos ou a um mercado financeiro com n ativos.

Slides

Aula 1.


Tópico 2: Matrizes

Leituras:

[Adilson] Capítulo 2

[Simon] Capítulo 8

Exercícios repetitivos: Veja Seções 2.2 a 2.7 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.

Aplicações

Uma matriz também é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia.

Matrizes de dados serão muito usadas em econometria, onde cada coluna guardará dados de uma determinada variável aleatória de interesse. Por exemplo, imagine que você quer explicar o salário de um indivíduo usando variáveis relacionadas com o indivíduo. Quais as variáveis que você acredita que podem explicar o salário do indivíduo? Suponha que você acredite que escolaridade, gênero, escolaridade da mãe são variáveis que podem explicar o salário. Então você pode construir uma matriz de dados que inclui essas variáveis em cada coluna.

Em finanças, matrizes também são usadas para guardar payoffs dos ativos em um mercado financeiro. Por exemplo, suponha que o mercado tenha J ativos e seja modelado por S estados. Então, uma matriz de ordem S x J pode ser usada para guardar esses ativos. Veja por exemplo esse modelo nas notas de aula do curso de finanças.

Outras matrizes importantes que aparecem muito em Econometria e Finanças são as Matrizes de Variância-Covariância. Por exemplo, a teoria básica de escolha de carteiras supõe que investidores desejam construir carteiras que possuem altos valores esperados e baixas variâncias. Um conceito fundamental que aparece nesse contexto é a idéia de diversificação. Veja um exemplo simples sobre esse assunto no PRorum.

Slides

Aula 2.


Tópico 3: Operações Elementares/Sistemas Lineares

Leituras:

[Adilson] Capítulo 3: Seções 3.1, 3.2 e 3.3.

[Strang] Para uma visão geométrica, veja o Capítulo 1: Seções 1.1 a 1.5.

[Simon] Capítulos 6 e 7

Exercícios repetitivos: Veja Seções 3.2 a 3.11 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.

Aplicações

Existem várias aplicações de sistemas lineares em Economia.

Por exemplo, em finanças a solução de sistemas lineares pode ser usada para caracterizar se um mercado financeiro é completo ou incompleto. Veja por exemplo essa caracterização nas notas de aula do curso de finanças.

Uma outra aplicação super interessante é o cálculo do Page Rank ou do modelo de Leontief usado em análise de Insumo-Produto. Veja por exemplo um post sobre esse assunto no PRorum

Slides

Aula 3.


Tópico 4: Inversa de matrizes

Leituras:

[Adilson] Capítulo 3: Seção 3.4.

[Simon] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.

Exercícios repetitivos: Veja Seção 3.12 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.

Aplicações

A idéia de inversão de matrizes aparece muito em econometria em vários contextos diferentes. Por exemplo, o estimador mais popular de um Modelo de Regressão Linear, conhecido como método dos mínimos quadrados, dependem explicitamente de uma inversão.

Slides

Aula 4.


Tópico 5: Determinantes

Leituras:

[Adilson] Capítulo 5: Seções 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 e 5.5.

[Simon] Capítulos 9 e 26.

Exercícios repetitivos: Veja Seções 8.2 a 8.8 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.

Aplicações

Os determinantes aparecem como ferramenta básica em várias situações no curso de economia. No nosso curso de Economia Quantitativa I, determinantes podem ser usadas como uma ferramenta importante de caracterização de matrizes quadradas. Se o determinante de uma matriz A de ordem n é nulo, o sistema linear Ax=0 possui infinitas soluções, o núcleo de A contém infinitos elementos e a imagem de T(x)=Ax não é o Rn.

No nosso curso também usaremos determinantes também para caracterizar se uma matriz é positiva ou negativa definida e isso será fundamental para verificar as condições de segunda ordem de um problema de otimização interior (sem restrições).

Também usaremos determinantes para calcular os autovalores e autovetores associados a uma transformação linear.

Slides

Aula 5.


Tópico 6: Espaços vetoriais

Leituras:

[Adilson] Capítulo 4: Seções 4.1 a 4.4.

[Simon] Seções 27.1, 27.2 e 27.6

Exercícios repetitivos: Veja Seções 4.2 a 4.8 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.

Aplicações

Um espaço vetorial é um conjunto com certa estrutura que é usado em muitas situações em economia. A grande maioria dos problemas importantes em economia está definido em espaços vetoriais ou em translações desses espaços, ou seja, a solução pertence a um determinado espaço vetorial ou uma translação desse espaço. Por exemplo, o Rn é um espaço vetorial. A solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial e a solução de um sistema linear não homogêneo é a translação de um subespaço vetorial.

Em finanças, um subespaço vetorial particularmente importante é aquele subespaço gerado pelo payoff de todos os ativos do mercado. Veja aqui a definição exata desse subespaço nas notas de aula do curso de finanças. Qual a relevância de um determinado direito contigente pertencer ou não a esse subespaço? Por exemplo, considerados dados os preços dos ativos, eu consigo encontrar um único preço para qualquer direito contigente que pertence a esse subespaço. Se ele não pertencer, o que ocorre?

Slides

Aula 6.


Tópico 7: Transformações lineares, Operadores Lineares e Funcionais Lineares

Leituras:

[Adilson] Capítulo 6: Seções 6.1, 6.2 e 6.3

[Strang] Para geometria e vários exemplos, veja a Seção 2.6.

[Simon] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.

Exercícios repetitivos: Veja Seções 5.2 a 5.4 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.

Aplicações

Transformações lineares aparecem em muitas situações no curso de economia. No nosso curso, usaremos esse conceito para definir autovalores e autovetores. No curso de finanças, o funcional de apreçamento é um funcional linear. Veja aqui a definição exata desse funcional nas notas de aula do curso de finanças.

Slides

Aula 7.


Tópico 8: Autovalores/Autovetores

Leituras:

[Adilson] Seção 6.6

[Simon] Seção 23.1 [Mas alguns tópicos apresentados em sala, não estão bem apresentados aqui]

Exercícios repetitivos: Veja Seções 9.2 a 9.5 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.

Aplicações

Existem muitas aplicações em estatística e econometria de autovalores e autovetores. Sem dúvida uma das mais populares são Análise do Componentes Principais e a Solução de Modelos de Séries Temporais Lineares. Uma outra aplicação que também aparecerá no curso de Economia Quantitativa II é a solução de equações diferenciais lineares.

Slides

Aula 8.


Plano de Estudo de Topologia no Rn, Funções de Várias Variáveis, Análise Convexa e Otimização

Para esse plano de estudo, vou focar apenas no livro Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume [Simon]. Também citarei bastante as notas do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme de Lara Resende do Departamento de Economia da UnB, que vocês usarão no próximo semestre, pois existe um link muito forte entre essa parte do curso e o curso de Microeconomia I.

Para motivar essa parte do curso, eu sugiro que antes da aula, vocês leiam a primeira aula do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme, que você pode acessar aqui.


Tópico 1: Topologia no RN

Leituras:

[Simon] Capítulo 12

Aplicações

Vários dos conjuntos definidos aqui nesse tópico serão usados em vários lugares do curso de economia. Por exemplo, a noção de conjuntos compactos será usada para a discussão do teorema de Weierstrass, que aparece no tópico 7 (a seguir). Em microeconomia I, por exemplo, a noção de conjuntos fechados é usada para discutir o axioma de continuidade na aula sobre Preferências. Veja por exemplo as notas de aula do Professor José Guilherme associada a esse tópico aqui.

Slides

Aula 1.


Tópico 2: Funções Várias Variáveis (Lineares, Formas Quadráticas, Polinômios, Funções Contínuas, Funções Homogêneas e Homotéticas, Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas)

Leituras:

[Simon] Capítulo 13, Capítulo 20: Seções 20.1 e 20.4, Capítulo 21: Seções 21.1, 21.2 e 21.3

Aplicações

Várias das funções apresentadas aqui são usadas extensivamente nos cursos de Economia.

Funções Homogêneas e Homotéticas aparecem por exemplo em Microeconomia I. Por exemplo, a função de Demanda Marshalliana é uma função homogênea de grau 0. Por outra lado, várias funções de utilidade que aparecem no curso de Microeconomia I são homotéticas. Veja as aulas de Microeconomia que apresentam essa informação aqui e aqui.

Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas também aparecem em Microeconomia I. Em geral funções de utilidade são côncavas ou quase-côncavas (quando as preferências forem convexas), curvas de indiferença são (estritamente) convexas etc.

Polinômios quadráticos aparecem em econometria. Veja por exemplo aqui o problema de otimização que precisamos resolver para encontrar os parâmetros de um modelo de regressão linear. Também usaremos polinômios quadráticos em nosso curso para caracterizar as condições de segunda ordem de um problema de otimização interior (sem restrições).

Slides

Aula 2.


Tópico 3: Derivada parcial/Diferencial

Leituras:

[Simon] Capítulo 14: Seções 14.1 a 14.4 e 14.8

Exercícios repetitivos: Veja Seções 5.1 a 5.3 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.

Aplicações

Derivadas parciais e diferenciais aparecem em muitos lugares no Curso de Economia. Usamos derivadas para resolver problemas de otimização que será um procedimento comum em Microeconomia I, para definir elasticidades etc. O diferencial total aparece por exemplo na definição da Taxa Marginal de Substituição. Veja exemplo de derivadas e diferenciais totais usados no curso de Microeconomia aqui.

Slides

Aulas 3, 4, 5 e 6.


Tópico 4: Cálculo de várias variáveis (Regra da cadeia)

Leituras:

[Simon] Seção 14.5

Aplicações

É uma ferramenta básica de cálculo que aparece em vários contextos. Por exemplo, no Estudo da Teoria do Consumidor em Microeconomia usamos essa "regra" para derivar por exemplo a equação de homogeneidade. Veja aqui.


Tópico 5: Cálculo de várias variáveis (Polinomios de Taylor)

Leituras:

[Simon] Seções 30.2 e 30.3

Aplicações

Polinomios de Taylor são usados em várias situações. No nosso curso, usaremos esses polinômios para estudar as condições de segunda ordem de um problema de otimização irrestrito (interior).


Tópico 6: Cálculo de várias variáveis (Funções implícitas)

Leituras:

[Simon] Seção 15.1

Aplicações

Funções implícitas aparecem em várias situações. Veja por exemplo aqui.


Tópico 7: Formas Quadráticas

Leituras:

[Simon] Capítulo 16: Seções 16.1 e 16.2

Aplicações

Usamos as condições de segunda ordem para caracterizar os pontos críticos.

Slides

Aula 7.


Tópico 8: Convexidade

Leituras:

[Simon] Seção 21.1 a 21.3

Aplicações

Como já mencionado, muitas das funções usadas no nosso curso são côncavas ou convexas e elas possuem particularidades que devem ser explicitadas.

Slides

Aula 8.


Tópico 9: Introdução a Otimização

Leituras:

[Simon] Seção 17.1 e 30.1 (Apenas o tópico relacionado com o Teorema de Weierstrass)

Aplicações

Usamos o teorema de Weierstrass em várias situações em Economia quando desejamos garantir a existência da solução de um problema de otimização, sem precisar especificar a forma da função que desejamos otimizar e/ou resolvê-lo.

No curso de Microeconomia I, pode-se garantir a existência da Função de Utilidade Indireta utilizando o Teorema de Weierstrass sempre que a função de utilidade for contínua.. Veja esse conteúdo nas Notas de Microeconomia I do Professor José Guilherme.

No curso de finanças usamos esse resultado para mostrar que na ausência de arbitragem, sempre existe uma solução para o problema de otimização de carteira. Veja aqui os slides associados a esse teorema.

Otimização em geral é uma ferramenta básica de Microeconomia e Econometria.

Slides

Aulas 9, 10 12.


Tópico 10: Otimização interior

Leituras:

[Simon] Seções 17.2, 17.3, 16.2, 21.5

Aplicações

Usamos as condições de primeira ordem para encontrar os pontos críticos.

Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.4 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.


Tópico 11: Otimização com restrições

Leituras:

Seção 18.2

Aplicações

O problema do Consumidor estudado em Microeconomia é exatamente um problema desse tipo. Veja aqui a aula do Professor José Guilherme relacionada com esse assunto.

Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.5 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.

Slides

Aulas 11 e 12.

Plano de Estudo de Métodos Computacionais


Aula 1: Introdução

Slides.


Aula 2: Paradigmas

Slides.

Aula 3: Programação Estruturada

Slides.

Aula 4: Coleções básicas de dados

Slides.

Aula 5: Recursões

Slides.

Aula 6: Métodos Monte Carlo

Slides.

Wednesday, July 3, 2019

Aula 32 de Métodos Computacionais em Economia - Processamento de Linguagem Natural

Essa é a décima aula de Aprendizagem de Máquinas do nosso curso. Esses são os slides usados em sala.

Códigos usados em sala de aula

Todos os exemplos dessa aula foram do livro

Natural Language Processing in Python

Referências

Foundations of Statistical Natural Language Processing - Christopher D. Manning and Hinrich Schütze

Natural Language Processing in Python

Aula 31 de Métodos Computacionais em Economia - Aprendizagem de Máquinas: Aprendizagem por Reforço

Essa é a nona aula de Aprendizagem de Máquinas do nosso curso. Esses são os slides usados em sala.



Códigos usados em sala de aula

Implementação do problema da locadora usando programação dinâmica

Referências

Numerical Methods in Economics - Keneth Judd

Reinforcement Learning [Capítulos 1 a 4]

Markov Decision Processes - Martin Puterman [Capítulo 6]

Referências Complementares

O site Quantitative Economics tem muito material legal.

Soluções de Exercícios

Value iteration usando discretização [Questão 1(a)]

Value iteration usando discretização [Questão 4(a)]

Método de Newton Raphson [Questão 8]

Gerando fractais: Fractal de Vicsek [Questão 11]

Gerando fractais: Carpete de Sierpinski [Questão 11]

Gerando fractais: Triângulo de Sierpinski [Questão 11]


Friday, June 28, 2019

Aula 30 de Métodos Computacionais em Economia - Aprendizagem de Máquinas: Redes Neurais e Deep Learning

Essa é a oitava aula de Aprendizagem de Máquinas do nosso curso. Esses são os slides usados em sala.



Códigos usados em sala de aula

Implementação de redes neurais artificias usando o pyBrain



Soluções de Exercícios




Implementação de dropout (Exercício 3)

Autoencoder (Exercício 4)

Exemplo de redes neurais recorrentes (Exercício 5)

MNIST (Exercício 6)



Referências

Pattern Recognition and Machine Learning - Christopher Bishop [Seções 5.1 a 5.5]

Neural networks - Haykin [Capítulo 4]

Deep learning - Ian Goodfellow, Yoshua Bengio and Aaron Courville [Capítulo 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14]

LeCun, Y., Bengio, Y. and Hinton, G. E. (2015) Deep Learning Nature, Vol. 521, pp 436-444.

Hinton, G. E. (2007) Learning Multiple Layers of Representation. Trends in Cognitive Sciences, Vol. 11, pp 428-434.

Quoc V. Le A Tutorial on Deep Learning Part 1: Nonlinear Classifiers and The Backpropagation Algorithm

Quoc V. Le A Tutorial on Deep Learning Part 2: Autoencoders, Convolutional Neural Networks and Recurrent Neural Networks


Referências Complementares

Razvan Pascanu, Çağlar Gülçehre, Kyunghyun Cho and Yoshua Bengio, How to Construct Deep Recurrent Neural Networks, in: International Conference on Learning Representations 2014(Conference Track), 2014

Guillaume Alain and Yoshua Bengio, What Regularized Auto-Encoders Learn from the Data-Generating Distribution (2014), in: Journal of Machine Learning Research, 15(3563-3593)

Hinton, G. E. Where do features come from?. Cognitive Science, Vol. 38(6), pp 1078-1101.

Srivastava, N., Hinton, G., Krizhevsky, A., Sutskever, I. and Salakhutdinov, R. Dropout: A simple way to prevent neural networks from overfitting The Journal of Machine Learning Research, 15(1), pp 1929-1958.

Sutskever, I., Martens, J., Dahl, G. and Hinton, G. E. On the importance of momentum and initialization in deep learning In 30th International Conference on Machine Learning, Atlanta, USA, 2013.

Yoshua Bengio and Aaron Courville, Deep Learning of Representations, in: Handbook on Neural Information Processing, Springer: Berlin Heidelberg, 2013

Çağlar Gülçehre and Yoshua Bengio, Knowledge Matters: Importance of Prior Information for Optimization, in: International Conference on Learning Representations (ICLR'2013), 2013

Yoshua Bengio, Aaron Courville and Pascal Vincent, Representation Learning: A Review and New Perspectives (2013), in: Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on, 35:8(1798-1828)

Hinton, G. E., Srivastava, N., Krizhevsky, A., Sutskever, I. and Salakhutdinov, R. R. Improving neural networks by preventing co-adaptation of feature detectors http://arxiv.org/abs/1207.0580, 2012

Suskever, I., Martens, J. and Hinton, G. E. Generating Text with Recurrent Neural Networks. Proc. 28th International Conference on Machine Learning, Seattle, 2011.

Nicolas Le Roux and Yoshua Bengio, Deep Belief Networks are Compact Universal Approximators (2010), in: Neural Computation, 22:8(2192-2207)

Dumitru Erhan, Yoshua Bengio, Aaron Courville, Pierre-Antoine Manzagol, Pascal Vincent, Samy Bengio; Why Does Unsupervised Pre-training Help Deep Learning? Journal of Machine Learning Research, 11(Feb):625−660, 2010.

Hugo Larochelle, Yoshua Bengio, Jerome Louradour and Pascal Lamblin, Exploring Strategies for Training Deep Neural Networks (2009), in: Journal of Machine Learning Research, 10(1--40)

Yoshua Bengio, Learning deep architectures for AI (2009), in: Foundations and Trends in Machine Learning, 2:1(1--127)

van der Maaten, L. J. P. and Hinton, G. E. Visualizing Data using t-SNE. Journal of Machine Learning Research, Vol 9, (Nov) pp 2579-2605, 2008.

Hinton. G. E. What kind of a graphical model is the brain? International Joint Conference on Artificial Intelligence 2005, Edinburgh.

Yoshua Bengio, Gradient-Based Optimization of Hyperparameters (2000), in: Neural Computation, 12:8(1889--1900)

Hinton, G.E. Supervised learning in multilayer neural networks in The MIT Encyclopedia of the Cognitive Sciences Editors: Robert A. Wilson and Frank C. Keil The MIT Press, 1999.

Hinton, G. E., Plaut, D. C. and Shallice, T. Simulating brain damage Scientific American, 1993.

Nowlan. S. J. and Hinton, G. E. Simplifying neural networks by soft weight sharing.
Neural Computation, 4, 173-193.

Hinton, G.E. How neural networks learn from experience. Scientific American, September 1992.

Rumelhart, D. E., Hinton, G. E., and Williams, R. J. Learning representations by back-propagating errors.
Nature, 323, 533--536, 1986.

Hinton, G. E. Learning distributed representations of concepts. Proceedings of the Eighth Annual Conference of the Cognitive Science Society, Amherst, Mass, 1986.

Hinton, G. E., McClelland, J. L., and Rumelhart, D. E. Distributed representations. In Rumelhart, D. E. and McClelland, J. L., editors, Parallel Distributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cognition. Volume 1: Foundations, MIT Press, Cambridge, MA. pp 77-109, 1986.

Rumelhart, D. E., Hinton, G. E., and Williams, R. J.
Learning internal representations by error propagation.
In Rumelhart, D. E. and McClelland, J. L., editors, Parallel Distributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cognition. Volume 1: Foundations, MIT Press, Cambridge, MA. pp 318-362, 1986.





Aula 29 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Aprendizagem de Máquinas: Decision Trees

Essa é a sétima aula de Aprendizagem de Máquinas do nosso curso. Esses são os slides usados em sala.


Referências

Modern multivariate statistical techniques - Alan Julian Izenman [Capítulo 9]


Classification and Regression Trees - Leo Breiman, Jerome Friedman, Charles J. Stone, R.A. Olshen

Tuesday, June 18, 2019

Aula 28 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Aprendizagem de Máquinas: Classificação Linear

Essa é a sexta aula de Aprendizagem de Máquinas do nosso curso. Esses são os slides usados em sala.



Códigos usados em sala de aula

OLS para classificação

Implementação do Perceptron

Implementação de um modelo de resposta binária

Referências

Pattern Recognition and Machine Learning - Christopher Bishop [Seções 4.1, 4.2 e 4.3]

A. Carvalho, D. Cajueiro e R. Camargo - Introdução aos Métodos Estatísticos para Economia e Finanças [Capítulo 9]

Modern multivariate statistical techniques - Alan Julian Izenman [Seções 8.1 a 8.4]

The elements of statistical learning - Hastie, Tibshirani e Friedman [Capítulo 4]

Neural networks - Haykin [Capítulos 3 e 5]

Bases de dados usadas para responder os exercícios

PRorum: Sites com bases de dados interessantes

Soluções de Exercícios

Linear Discriminant Analysis

Probabilistic Generative Models

Stepwise logistic regression

Xor

Aula 27 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Aprendizagem de Máquinas: Modelos lineares regularizados

Essa é a quinta aula de Aprendizagem de Máquinas do nosso curso, onde discutimos modelos lineares regularizados. Esses são os slides usados em sala.

Referências

Modern multivariate statistical techniques - Alan Julian Izenman [Capítulo 5]

Statistical Learning with Sparsity: The Lasso and Generalizations - Trevor Hastie and Robert Tibshirani

Referências Complementares

High-Dimensional Methods and Inference on Treatment and Structural Effects in Economics - Victor Chernozhukov, A. Belloni and C. Hansen

Soluções de Exercícios

Double Selection via lasso [Questão 1(b)]


Double Selection via lasso [Questão 1(b)]

Diferença entre os modelos regularizados usando Monte Carlo [Questão 2]


Aula 26 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Aprendizagem de Máquinas: Noções de Previsão

Essa é a quarta aula de Aprendizagem de Máquinas do nosso curso que versa sobre previsão. Esses são os slides usados em sala.


Referências

Elements of forecasting - Francis Diebold

Time series analysis - James Douglas Hamilton

Referências Complementares

The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail - But Some Don't - Nate Silver

The Predictors: How a Band of Maverick Physicists Used Chaos Theory to Trade Their Way to a Fortune on Wall Street - Thomas A. Bass

The Myth of the Rational Market: A History of Risk, Reward, and Delusion on Wall Street - Justin Fox

Soluções de Exercícios

Previsão de série temporal (propriedades) [Questão 1]

Previsão de venda de bebidas alcólicas [Questão 2]

Sunday, June 2, 2019

Aula 25 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Aprendizagem de Máquinas: Noções de estatística bayesiana

Essa é a terceira aula de Aprendizagem de Máquinas do nosso curso. Esses são os slides usados em sala.




Códigos usados em sala de aula


Proporção de fumantes

Referências

Bayesian data analysis - Gelman, Carlin e Stern - Christopher Bishop [Capítulos 1, 2, 6, 10, 11]

Estatística Bayesiana. Paulino, Turkman e Murteira [Capítulos 1, 2, 3, 4 e 7].

Referências Complementares para exercícios

Bayesian econometrics - Gary Koop

Soluções de Exercícios

Regressão linear simples [Questão 1]

Regressão linear múltipla [Questão 2]

Wednesday, May 29, 2019

Aula 24 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Aprendizagem de Máquinas: Modelos Lineares

Essa é a segunda aula de Aprendizagem de Máquinas do nosso curso que versa sobre modelos lineares. Esses são os slides usados em sala.



Códigos usados em sala de aula


Decomposição Viés-Variância

Referências

Pattern Recognition and Machine Learning - Christopher Bishop [Seções 3.1, 3.2 e 3.6]

Modern multivariate statistical techniques - Alan Julian Izenman [Capítulo 5]

The elements of statistical learning - Hastie, Tibshirani e Friedman [Capítulo 3]

Neural networks - Haykin [Capítulo 7]



Referências Complementares para otimização numérica

Numerical methods in economics - Kenneth Rudd

Numerical methods in engineering with python - Jaan Kiusalaas

Bases de dados usadas para responder os exercícios

PRorum: Sites com bases de dados interessantes

Soluções de Exercícios


Rede Neural de Bases radiais [Questão 1]

PCR - Principal Components Regression [Questão 2(a)

PLS - Implementação do Partial Least Squares [Questão 2(b)

PLS - Implementação do Ridge [Questão 2(c)

Forwards Stepwise em python [Questão 3(a)

Implementação do Lasso [Questão 3(b)

Implementação do LARS [Questão 3(c)

Forwards Stagewise em python [Questão 3(d)





Friday, May 24, 2019

Aula 23 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Introdução a Aprendizagem de Máquinas

Na nossa vigésima terceira aula de métodos computacionais fizemos uma introdução a aprendizagem de máquinas. Esses são os slides usados em sala.



Soluções de Exercícios


Data: SF salaries

Data: Titanic - ML for Disaster

Data: Forest Cover Type Prediction

Data: Brazilian Cities

Data: Bike Sharing Demand

Data:
Otto Group Product


Data:
Prudentials 1


Data:
Prudentials 2

.
Referências

The Master Algorithm: How the Quest for the Ultimate Learning Machine Will Remake Our World - Pedro Domingos

Pattern Recognition and Machine Learning - Christopher Bishop

Deep learning - Ian Goodfellow, Yoshua Bengio and Aaron Courville

The elements of statistical learning - Hastie, Tibshirani e Friedman

Modern multivariate statistical techniques - Alan Julian Izenman

The discipline of machine learning - T. M. Mitchel

A few useful things to know about machine learning - P. Domingos

Learning deep architectures for AI - Y. Bengio

In defence of forensic social science - Amir Goldberg [Big data and Society, 2015]

Sociology in the era of big data: the ascent of forensic social science - D. A. McFarland e
K. Lewis [American Sociology, 2015]

Economic reason and artificial intelligence - D. C. Parkes and M. P. Wellman [Sience 349,
p.267, 2015]

Big Data: New Tricks for Econometrics - H. R. Varian

The Impact of Machine Learning on Economics - Susan Athey

The State of Applied Econometrics: Causality and Policy Evaluation
Susan Athey e Guido W. Imbens.

Beyond Prediction: Using Big Data for Policy Problems -
Susan Athey

High-Dimensional Methods and Inference on Treatment and Structural Effects in Economics - Victor Chernozhukov, A. Belloni and C. Hansen

Prediction Policy Problems -
Jon Kleinberg, Jens Ludwig, Sendhil Mullainathan, and Ziad Obermeyer

Saturday, May 18, 2019

Aula 22 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Interlúdio 3: Modelos Baseados em Agentes

Na nossa vigésima segunda aula de métodos computacionais introduzimos modelos baseados em agentes. Esses são os slides usados em sala.



Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:

Jogo da Minoria

Modelo de Simulação Bancária


Referências

Arthur, W. B. Inductive reasoning and bounded rationality. American Economic Review, v. 84, n. 2, p. 406--411, 1994.

Barroso, R. V. et al., Interbank network and regulation policies: an analysis through agent-based simulations with adaptive learning, published in the Journal Of Network Theory In Finance, v. 2, n. 4, p. 53–86, 2016. [A versão preliminar está aqui: https://mpra.ub.uni-muenchen.de/73308/]

Challet, D. and Zhang, Y. C. Emergence of cooperation and organization on an evolutionary game. Physica A 246, p. 407--418, 1997

Agent-Based and Individual-Based Modeling: A Practical Introduction
by Steven F. Railsback and Volker Grimm

An Introduction to Agent-Based Modeling: Modeling Natural, Social, and Engineered Complex Systems with NetLogo -- Wilensky, Uri, Rand, William (2015)

Complex Adaptive Systems: An Introduction to Computational Models of Social Life -- John H. Miller and Scott Page


Agent-Based Modeling: The Santa Fe Institute Artificial Stock Market Model Revisited -- Norman Ehrentreich

Soluções de Exercícios

Questão 1 (a): Fire model
Questão 1 (b): Diffusion limited aggregation
Questão 1 (d): El Farol

Friday, May 17, 2019

Aula 21 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Interlúdio 2: Análise Numérica e Otimização

Essa aula não será formalmente discutida em sala de aula. De fato, precisaríamos de muitas aulas para fazer um apanhado das principais idéias. Usaremos esse espaço apenas para fazer alguns comentários e indicar possíveis referências que podem ser consultadas em tópicos específicos.

Na segunda parte do nosso curso sobre Machine Learning, alguns tópicos de Análise Numérica e Otimização Numérica serão mencionados e explicados informalmente quando aparecerem. Sem tentar ser exaustivo, entre eles estão:

1) Métodos que lidam com a solução de sistemas lineares. Particularmente a decomposição LU.
2) Métodos que lidam com a solução de sistemas não lineares. Particularmente o método de Newton.
3) Métodos que lidam com otimização numérica. Particularmente o método do gradiente e formas de restringir problemas de otimização.

Referências

Analysis of Numerical Methods - Eugene Isaacson and Herbert Bishop Keller

A First Look at Numerical Functional Analysis - W. W. Sawyer

Numerical methods in economics - Kenneth Rudd

Numerical methods in engineering with python - Jaan Kiusalaas

Aula 20 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Interlúdio 1: Métodos de Monte Carlo

Na nossa vigésima aula de métodos computacionais introduzimos técnicas de Monte Carlo. Esses são os slides usados em sala.


Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:

Relação entre as áreas do círculo e quadrado

Consistência do OLS

Album de figurinhas

Referências

Numerical methods in economics - Kenneth Judd [Capítulo 8]

Introdução aos métodos estatísticos para economia e finanças - Alexandre Carvalho, Daniel Cajueiro e Reinaldo Camargo.

Referências adicionais

Estatística sem Mistério

Soluções de Exercícios

Questão 1: Como são gerados os números aleatórios?

Questão 3 (a): Monte Carlo

Questão 3 (c): Monte Carlo

Questão (d): Monte Carlo

Questão (e): Monte Carlo




Aula 19 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Compromisso entre eficiência temporal e espacial

Na nossa décima nona aula de métodos computacionais discutimos o compromisso entre eficiência temporal e espacial. Esses são os slides usados em sala.

Códigos usados em sala de aula

Ordenação por contagem

Referências para essa aula:

Introduction to the Design and Analysis of Algorithms - Anany Levitin [Seções 7.1 e 11.2]

Introduction to Algorithms - Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest e Clifford Stein [Capítulo 8]

Solução de exercícios

Questão 4 (a): Pigeonhole sort

Questão 4 (b): Bucket sort

Questão 4 (f): Flashsort

Aula 18 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Quick sort

Na nossa décima oitava aula de métodos computacionais discutimos o algoritmo conhecido como Quick Sort e como aleatorização pode ser usada para melhorar a complexidade do algoritmo. Esses são os slides usados em sala.


Referências para essa aula:

Introduction to the Design and Analysis of Algorithms - Anany Levitin [Seção 5.2]

Introduction to Algorithms - Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest e Clifford Stein [Capítulo 7]


Solução de exercícios

Cálculo da mediana com complexidade linear

Thursday, May 16, 2019

Aula 17 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Melhoria Iterativa

Na nossa décima sétima aula de métodos computacionais discutimos a estratégia conhecida como Melhoria Iterativa. Esses são os slides usados em sala.


Códigos usados em sala de aula

Marriage Stable Problem

Referências para essa aula:

Introduction to the Design and Analysis of Algorithms - Anany Levitin [Capítulo 10]

Combinatorial optimization: Algorithms and Complexity - Christos H Papadimitriou e Kenneth Steiglitz [Capítulo 19]


Referências complementares

Two-Sided Matching: A Study in Game-Theoretic Modeling and Analysis - Alvin E. Roth e Marilda A. Oliveira Sotomayor

Stable Marriage and Its Relation to Other Combinatorial Problems: An Introduction to the Mathematical Analysis of Algorithms - Donald Ervin Knuth

Soluções

Questão 1: College Problem Admission


Questão 2: Stable roomates

Aula 16 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Estratégias Gananciosas

Na nossa décima sexta aula de métodos computacionais discutimos a estratégia conhecida como Gananciosa (ou Gulosa). Esses são os slides usados em sala.

Referências para essa aula:

Introduction to the Design and Analysis of Algorithms - Anany Levitin [Capítulo 9]

Combinatorial optimization: Algorithms and Complexity - Christos H Papadimitriou e Kenneth Steiglitz [Capítulo 12]

Introduction to Algorithms - Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest e Clifford Stein [Capítulo 16]

Soluções da série de exercícios

Algoritmo de Prim para encontrar a MST de um grafo


Algoritmo de Kruskal para encontrar a MST de um grafo


Aula 15 de Métodos Computacionais em Economia (2019) - Programação Dinâmica

Na nossa décima quinta aula de métodos computacionais discutimos a estratégia conhecida como Programação Dinâmica. Esses são os slides usados em sala.



Códigos usados em sala de aula

Fibonacci com Memoization ou Bottom-Up

Programação dinâmica para resolver o problema da mochila

Programação dinâmica para encontrar os menores caminhos

Referências para essa aula:

Introduction to the Design and Analysis of Algorithms - Anany Levitin [Capítulo 8]

Combinatorial optimization: Algorithms and Complexity - Christos H Papadimitriou e Kenneth Steiglitz [Capítulo 18]

Introduction to Algorithms - Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest e Clifford Stein [Capítulo 15]

Soluções da série de exercícios

Problema do troco [Questão 1]

Justificação de textos usando Programação Dinâmica [Questão 2]

Regressão linear segmentada [Questão 3]

Maximizar a soma do produto dos elementos de uma pilha [Questão 4]

Multiplicação de cadeias de matrizes [Questão 6]

Alocação ótima [Questão 7 (a)]

Busca binária [Questão 7 (e)]

Cobertura ótima [Questão 7 (f)]

Investimento ótimo [Questão 7 (n)]

Investimento ótimo [Questão 7 (o)]

Produção ótima [Questão 7 (y)]