Na nossa quarta aula de métodos computacionais discutimos Noções de Programação Orientada a Objeto. Esses são os slides usados em sala.
Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:
Exemplo de Classes
Exemplo de encapsulamento
Exemplo de sobrecarga de operadores
Exemplo de polimorfismo
Exemplos de iteradores
Exemplos de geradores
Exemplo de herança
Exemplo de classe abstrata
Referências Adicionais para essa aula:
1. Usuários de Python podem ter interesse em olhar:
Think Python - Allen Downey
2. Usuários de C++ podem ter interesse em olhar:
Think C++
3. Usuários de Java podem ter interesse em olhar:
Intro to Java Programming
Wednesday, March 22, 2017
Tuesday, March 14, 2017
Aula 3 de Métodos Computacionais em Economia - Recursão
Na nossa terceira aula de métodos computacionais discutimos recursões. Esses são os slides usados em sala.
Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:
Implementações da sequencia de Fibonacci
Implementações do fatorial de um número
Solução da Torre de Hanoi
Referências:
Think recursively - Eric S. Roberts
Persian Recursion Anne M. Burns Mathematics Magazine Vol. 70, No. 3 (Jun., 1997), pp. 196-199
The Algorithmic Beauty of Plants - Przemyslaw Prusinkiewicz and Aristid Lindenmayer (1991)
Referências Adicionais para essa aula:
1. Usuários de Python podem ter interesse em olhar:
Think Python - Allen Downey: Capítulo 5.
2. Usuários de C++ podem ter interesse em olhar:
Think C++: Capítulo 4.
Soluções da série de exercícios
Observação: Vários dos exercícios abaixo usam a idéia de Turtle Graphics discutida aqui.
Algoritmo de Euclides
Pinturas de Mondrian usando recursão
Árvores usando recursão
Ilhas de Koch
Ilhas de Koch 2
Sierpinski Gasket
Gosper Hexagonal Curve
Tree OL Systems
Tree OL Systems 2
Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:
Implementações da sequencia de Fibonacci
Implementações do fatorial de um número
Solução da Torre de Hanoi
Referências:
Think recursively - Eric S. Roberts
Persian Recursion Anne M. Burns Mathematics Magazine Vol. 70, No. 3 (Jun., 1997), pp. 196-199
The Algorithmic Beauty of Plants - Przemyslaw Prusinkiewicz and Aristid Lindenmayer (1991)
Referências Adicionais para essa aula:
1. Usuários de Python podem ter interesse em olhar:
Think Python - Allen Downey: Capítulo 5.
2. Usuários de C++ podem ter interesse em olhar:
Think C++: Capítulo 4.
Soluções da série de exercícios
Observação: Vários dos exercícios abaixo usam a idéia de Turtle Graphics discutida aqui.
Algoritmo de Euclides
Pinturas de Mondrian usando recursão
Árvores usando recursão
Ilhas de Koch
Ilhas de Koch 2
Sierpinski Gasket
Gosper Hexagonal Curve
Tree OL Systems
Tree OL Systems 2
Aula 2 de Métodos Computacionais em Economia - Coleções Básicas de Dados
Na nossa segunda aula de métodos computacionais discutimos coleções básicas de dados. Esses são os slides usados em sala.
Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:
Como usar sequências de dados ou arrays em programação estruturada?
Como usar conjuntos ou sets em programação computacional?
Como usar mapas (maps) ou dicionários em programação computacional?
Soluções de exercícios
Como implementar o produto de matrizes? [Considere apenas a solução convencional nessa resposta. As outras serão discutidas mais para frente no curso]
Como fatorar um número inteiro?
Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:
Como usar sequências de dados ou arrays em programação estruturada?
Como usar conjuntos ou sets em programação computacional?
Como usar mapas (maps) ou dicionários em programação computacional?
Soluções de exercícios
Como implementar o produto de matrizes? [Considere apenas a solução convencional nessa resposta. As outras serão discutidas mais para frente no curso]
Como fatorar um número inteiro?
Material de apoio ao curso Métodos Quantitativos em Economia da Defesa
Esse material deve servir de apoio ao curso de Métodos Quantitativos em Economia da Defesa. Os estudantes devem considerar esse material como uma sugestão de estudo. Obviamente, o estudante que ler o material antes da aula aprenderá mais facilmente o assunto.
Plano de Ensino
Pegue seu plano de ensino aqui.
Séries de Exercícios
O aluno deve considerar fazer três tipos de exercícios para aprender bem o conteúdo. O primeiro grupo de exercícios consiste dos exercícios apresentados ainda em sala de aula no quadro que são resolvidos em conjunto com o professor e colegas, que usualmente complementam o conteúdo de sala de aula. O segundo grupo de exercícios consiste de exercícios que aparecem nas referências complementares ao curso. O terceiro grupo de exercícios é formado por séries de exercícios que serão apresentados no fim de cada tópico. Alguns dos exercícios dessa séries tem o propósito de revisar a teoria (primeiro tipo) e outros têm o propósito de fazer o aluno pensar sobre a teoria (segundo tipo). Alguns desses exercícios (segundo tipo) podem ser consideradas difíceis e, por isso, todos têm uma solução. Eles são importantes pois fazem os estudantes pensarem com mais cuidado sobre o que aprenderam. Se você não conseguir resolver todos, não desanime. Escreva o problema e tente entendê-los: (1) Qual a definição usada pare resolver esse problema? Você deveria lembrar dessa definição? (2) Quais propriedades foram usadas? Você deveria conhecer essas propriedades? E agora, você conseguiu? Se ainda não conseguiu, refaça as mesmas perguntas para entender porque não conseguiu. É válido ainda mencionar que as soluções desses exercícios foram postadas no PRorum.com. Logo, a ferramenta de comentários desse forum pode ser usada para esclarecer algum detalhe da resolução que não tenha ficado claro.
Plano de Estudo de Álgebra Linear
Qualquer livro de Álgebra Linear que o aluno se sinta confortável é suficiente para acompanhar o curso. Entretanto, aqui nesse material vamos focar nos livros que estão disponíveis no plano de ensino:
Ref1: Introdução à Álgebra Linear - Adilson Gonçalves e Rita M. L. de Souza [Adilson]
Ref2: Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume (já disponível em português) [Simon]
Ref3: Matemática para Economistas - Alpha C. Chiang e Kevin Wainwright. [Chiang]
Tópico 1: Vetores e Noções de Espaços Vetoriais
Leituras:
[Adilson] Seções 1.1 a 1.6 e Seções 4.1 a 4.4.
[Adilson] Para ter uma visão geométrica, veja o resto do capítulo 1.
[Simon] Capítulo 10 e Seções 27.1, 27.2 e 27.6
[Chiang] Não tem uma apresentação adequada desse tópico. [Aparece algo na seção 4.3]
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 1.2 a 1.5 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Um vetor é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia. Por exemplo, pode falar em vetor de preços de n coordenadas quando nos referimos a cesta de consumo de n produtos ou a um mercado financeiro com n ativos.
Um espaço vetorial é um conjunto com certa estrutura que é usado em muitas situações em economia. A grande maioria dos problemas importantes em economia está definido em espaços vetoriais ou em translações desses espaços, ou seja, a solução pertence a um determinado espaço vetorial ou uma translação desse espaço. Por exemplo, o Rn é um espaço vetorial. A solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial e a solução de um sistema linear não homogêneo é a translação de um subespaço vetorial.
Em finanças, um subespaço vetorial particularmente importante é aquele subespaço gerado pelo payoff de todos os ativos do mercado. Veja aqui a definição exata desse subespaço nas notas de aula do curso de finanças. Qual a relevância de um determinado direito contigente pertencer ou não a esse subespaço? Por exemplo, considerados dados os preços dos ativos, eu consigo encontrar um único preço para qualquer direito contigente que pertence a esse subespaço. Se ele não pertencer, o que ocorre?
Tópico 2: Matrizes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 2
[Simon] Capítulo 8
[Chiang] Seções 4.1, 4.2, 4.4, 4.5 e 4.6
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 2.2 a 2.7 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Uma matriz também é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia.
Matrizes de dados serão muito usadas em econometria, onde cada coluna guardará dados de uma determinada variável aleatória de interesse. Por exemplo, imagine que você quer explicar o salário de um indivíduo usando variáveis relacionadas com o indivíduo. Quais as variáveis que você acredita que podem explicar o salário do indivíduo? Suponha que você acredite que escolaridade, gênero, escolaridade da mãe são variáveis que podem explicar o salário. Então você pode construir uma matriz de dados que inclui essas variáveis em cada coluna.
Em finanças, matrizes também são usadas para guardar payoffs dos ativos em um mercado financeiro. Por exemplo, suponha que o mercado tenha J ativos e seja modelado por S estados. Então, uma matriz de ordem S x J pode ser usada para guardar esses ativos. Veja por exemplo esse modelo nas notas de aula do curso de finanças.
Outras matrizes importantes que aparecem muito em Econometria e Finanças são as Matrizes de Variância-Covariância. Por exemplo, a teoria básica de escolha de carteiras supõe que investidores desejam construir carteiras que possuem altos valores esperados e baixas variâncias. Um conceito fundamental que aparece nesse contexto é a idéia de diversificação. Veja um exemplo simples sobre esse assunto no PRorum.
Tópico 3: Operações Elementares/Sistemas Lineares
Leituras:
[Adilson] Capítulo 3: Seções 3.1, 3.2 e 3.3.
[Simon] Capítulos 6 e 7
[Chiang] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 3.2 a 3.11 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Existem várias aplicações de sistemas lineares em Economia.
Por exemplo, em finanças a solução de sistemas lineares pode ser usada para caracterizar se um mercado financeiro é completo ou incompleto. Veja por exemplo essa caracterização nas notas de aula do curso de finanças.
Uma outra aplicação super interessante é o cálculo do Page Rank ou do modelo de Leontief usado em análise de Insumo-Produto. Veja por exemplo um post sobre esse assunto no PRorum
Tópico 4: Inversa de matrizes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 3: Seção 3.4.
[Simon] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
[Chiang] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 3.12 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
A idéia de inversão de matrizes aparece muito em econometria em vários contextos diferentes. Por exemplo, o estimador mais popular de um Modelo de Regressão Linear, conhecido como método dos mínimos quadrados, dependem explicitamente de uma inversão.
Tópico 5: Determinantes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 5: Seções 5.1, 5.2, 5.3 e 5.5.
[Simon] Capítulos 9 e 26.
[Chiang] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 8.2 a 8.8 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Os determinantes aparecem como ferramenta básica em várias situações no curso de economia. No nosso curso de Economia Quantitativa I, determinantes podem ser usadas como uma ferramenta importante de caracterização de matrizes quadradas. Se o determinante de uma matriz A de ordem n é nulo, o sistema linear Ax=0 possui infinitas soluções, o núcleo de A contém infinitos elementos e a imagem de T(x)=Ax não é o Rn.
No nosso curso também usaremos determinantes também para caracterizar se uma matriz é positiva ou negativa definida e isso será fundamental para verificar as condições de segunda ordem de um problema de otimização interior (sem restrições).
Plano de Estudo de Cálculo e Otimização
Tópico 1: Introdução ao Cálculo Diferencial
Leituras:
[Simon] Capítulo 2, Seção 3.5, Seção 4.1, Capítulo 5.
[Chiang] Capítulo 6
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 3.1 a 3.8 e 4.1 a 4.5 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Aplicações
Cálculo diferencial aparece como ferramenta básica para o estudo de otimização, que é por sua vez uma ferramenta essencial em Microeconomia e Econometria.
Tópico 2: Introdução ao Cálculo Integral
Leituras:
[Simon] Apêndice A4
[Chiang] Seções 13.2 a 13.5
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 14.1, 14.2 e 15.1 a 15.4 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Aplicações
Cálculo integral aparece como ferramenta básica para o estudo de estatística.
Funções Várias Variáveis, Cálculo de Várias Variáveis, Análise Convexa e Otimização
Para esse plano de estudo, vou focar apenas no livro Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume [Simon]. Também citarei bastante as notas do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme de Lara Resende do Departamento de Economia da UnB, pois existe um link muito forte entre essa parte do curso e o curso de Microeconomia I.
Para motivar essa parte do curso, eu sugiro que antes da aula, vocês leiam a primeira aula do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme, que você pode acessar aqui.
Para essa parte do curso serão usadas as seguintes séries de exercícios:
Funções de Várias Variáveis e Cálculo: Veja aqui.
Análise Convexa: Veja aqui.
Otimização: Veja aqui.
Otimização Interior: Veja aqui.
Otimização com Restrições: Veja aqui.
Tópico 1: Funções Várias Variáveis (Lineares, Formas Quadráticas, Polinômios, Funções Contínuas, Funções Homogêneas e Homotéticas, Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas)
Leituras:
[Simon] Capítulo 13, Capítulo 20: Seções 20.1 e 20.4, Capítulo 21: Seções 21.1, 21.2 e 21.3
Aplicações
Várias das funções apresentadas aqui são usadas extensivamente nos cursos de Economia.
Funções Homogêneas e Homotéticas aparecem por exemplo em Microeconomia I. Por exemplo, a função de Demanda Marshalliana é uma função homogênea de grau 0. Por outra lado, várias funções de utilidade que aparecem no curso de Microeconomia I são homotéticas. Veja as aulas de Microeconomia que apresentam essa informação aqui e aqui.
Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas também aparecem em Microeconomia I. Em geral funções de utilidade são côncavas ou quase-côncavas (quando as preferências forem convexas), curvas de indiferença são (estritamente) convexas etc.
Polinômios quadráticos aparecem em econometria. Veja por exemplo aqui o problema de otimização que precisamos resolver para encontrar os parâmetros de um modelo de regressão linear. Também usaremos polinômios quadráticos em nosso curso para caracterizar as condições de segunda ordem de um problema de otimização interior (sem restrições).
Tópico 2: Derivada parcial/Diferencial
Leituras:
[Simon] Capítulo 14: Seções 14.1 a 14.4 e 14.8
Exercícios repetitivos: Veja Seções 5.1 a 5.3 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Aplicações
Derivadas parciais e diferenciais aparecem em muitos lugares no Curso de Economia. Usamos derivadas para resolver problemas de otimização que será um procedimento comum em Microeconomia I, para definir elasticidades etc. O diferencial total aparece por exemplo na definição da Taxa Marginal de Substituição. Veja exemplo de derivadas e diferenciais totais usados no curso de Microeconomia aqui.
Tópico 3: Cálculo de várias variáveis (Polinomios de Taylor)
Leituras:
[Simon] Seções 30.2 e 30.3
Aplicações
Polinomios de Taylor são usados em várias situações. No nosso curso, usaremos esses polinômios para estudar as condições de segunda ordem de um problema de otimização irrestrito (interior).
Tópico 4: Introdução a Otimização
Leituras:
[Simon] Seção 17.1 e 30.1 (Apenas o tópico relacionado com o Teorema de Weierstrass)
Aplicações
Usamos o teorema de Weierstrass em várias situações em Economia quando desejamos garantir a existência da solução de um problema de otimização, sem precisar especificar a forma da função que desejamos otimizar e/ou resolvê-lo.
No curso de Microeconomia I, pode-se garantir a existência da Função de Utilidade Indireta utilizando o Teorema de Weierstrass sempre que a função de utilidade for contínua.. Veja esse conteúdo nas Notas de Microeconomia I do Professor José Guilherme.
No curso de finanças usamos esse resultado para mostrar que na ausência de arbitragem, sempre existe uma solução para o problema de otimização de carteira. Veja aqui os slides associados a esse teorema.
Otimização em geral é uma ferramenta básica de Microeconomia e Econometria.
Tópico 5: Condições de Primeira Ordem
Leituras:
[Simon] Seções 17.2
Aplicações
Usamos as condições de primeira ordem para encontrar os pontos críticos.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.4 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Tópico 6: Formas Quadráticas e Condições de Segunda Ordem
Leituras:
[Simon] Capítulo 16: Seções 16.1 e 16.2
Aplicações
Usamos as condições de segunda ordem para caracterizar os pontos críticos.
Tópico 7: Otimização de funções Concavas/Convexas
Leituras:
[Simon] Seção 21.5
Aplicações
Como já mencionado, muitas das funções usadas no nosso curso são côncavas ou convexas e elas possuem particularidades que devem ser explicitadas.
Tópico 8: Otimização restrita (Segunda Ordem)
Leituras:
Seção 18.2
Aplicações
O problema do Consumidor estudado em Microeconomia é exatamente um problema desse tipo. Veja aqui a aula do Professor José Guilherme relacionada com esse assunto.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.5 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Plano de Estudo de estatística
Essa parte do curso pretende introduzir noções básicas de estátística que poderão serão usadas em um curso futuro de análise de dados e/ou aplicados diretamente na análise de dados.
A referência principal dessa parte do curso é o livro: Carvalho, Cajueiro e Camargo (2015) Introdução aos métodos estatísticos para economia e finanças. Editora da UnB.
Também sugere-se o uso do livro Coleção Schaum Estatística - Murray R. Spiegel para aqueles que desejam fazer vários exercícios repetitivos que revisam a teoria.
Slides: Veja Série de exercícios para revisão da teoria dada em sala.
Tópico 1: Introdução à estatística
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Capitulo 1
Slides: Veja aqui.
Tópico 2: Estatística descritiva
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Capitulo 2
Slides: Veja aqui.
Tópico 3: Variáveis aleatórias
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Seções 3.1 a 3.3
Distribuição normal de forma intuitiva.
Slides: Veja aqui.
Tópico 4: Variáveis aleatórias multivariadas
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Seções 4.1 a 4.5
Slides: Veja aqui.
Tópico 5: Estimadores
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Seções 5.1 a 5.5
Slides: Veja aqui.
Tópico 6: Testes de hipóteses
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Seções 6.4.1, 6.4.3 e 6.5
Slides: Veja aqui.
Tópico 7: Regressão linear
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Capítulo 8
Slides: Veja aqui.
Plano de Ensino
Pegue seu plano de ensino aqui.
Séries de Exercícios
O aluno deve considerar fazer três tipos de exercícios para aprender bem o conteúdo. O primeiro grupo de exercícios consiste dos exercícios apresentados ainda em sala de aula no quadro que são resolvidos em conjunto com o professor e colegas, que usualmente complementam o conteúdo de sala de aula. O segundo grupo de exercícios consiste de exercícios que aparecem nas referências complementares ao curso. O terceiro grupo de exercícios é formado por séries de exercícios que serão apresentados no fim de cada tópico. Alguns dos exercícios dessa séries tem o propósito de revisar a teoria (primeiro tipo) e outros têm o propósito de fazer o aluno pensar sobre a teoria (segundo tipo). Alguns desses exercícios (segundo tipo) podem ser consideradas difíceis e, por isso, todos têm uma solução. Eles são importantes pois fazem os estudantes pensarem com mais cuidado sobre o que aprenderam. Se você não conseguir resolver todos, não desanime. Escreva o problema e tente entendê-los: (1) Qual a definição usada pare resolver esse problema? Você deveria lembrar dessa definição? (2) Quais propriedades foram usadas? Você deveria conhecer essas propriedades? E agora, você conseguiu? Se ainda não conseguiu, refaça as mesmas perguntas para entender porque não conseguiu. É válido ainda mencionar que as soluções desses exercícios foram postadas no PRorum.com. Logo, a ferramenta de comentários desse forum pode ser usada para esclarecer algum detalhe da resolução que não tenha ficado claro.
Plano de Estudo de Álgebra Linear
Qualquer livro de Álgebra Linear que o aluno se sinta confortável é suficiente para acompanhar o curso. Entretanto, aqui nesse material vamos focar nos livros que estão disponíveis no plano de ensino:
Ref1: Introdução à Álgebra Linear - Adilson Gonçalves e Rita M. L. de Souza [Adilson]
Ref2: Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume (já disponível em português) [Simon]
Ref3: Matemática para Economistas - Alpha C. Chiang e Kevin Wainwright. [Chiang]
Tópico 1: Vetores e Noções de Espaços Vetoriais
Leituras:
[Adilson] Seções 1.1 a 1.6 e Seções 4.1 a 4.4.
[Adilson] Para ter uma visão geométrica, veja o resto do capítulo 1.
[Simon] Capítulo 10 e Seções 27.1, 27.2 e 27.6
[Chiang] Não tem uma apresentação adequada desse tópico. [Aparece algo na seção 4.3]
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 1.2 a 1.5 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Um vetor é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia. Por exemplo, pode falar em vetor de preços de n coordenadas quando nos referimos a cesta de consumo de n produtos ou a um mercado financeiro com n ativos.
Um espaço vetorial é um conjunto com certa estrutura que é usado em muitas situações em economia. A grande maioria dos problemas importantes em economia está definido em espaços vetoriais ou em translações desses espaços, ou seja, a solução pertence a um determinado espaço vetorial ou uma translação desse espaço. Por exemplo, o Rn é um espaço vetorial. A solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial e a solução de um sistema linear não homogêneo é a translação de um subespaço vetorial.
Em finanças, um subespaço vetorial particularmente importante é aquele subespaço gerado pelo payoff de todos os ativos do mercado. Veja aqui a definição exata desse subespaço nas notas de aula do curso de finanças. Qual a relevância de um determinado direito contigente pertencer ou não a esse subespaço? Por exemplo, considerados dados os preços dos ativos, eu consigo encontrar um único preço para qualquer direito contigente que pertence a esse subespaço. Se ele não pertencer, o que ocorre?
Tópico 2: Matrizes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 2
[Simon] Capítulo 8
[Chiang] Seções 4.1, 4.2, 4.4, 4.5 e 4.6
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 2.2 a 2.7 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Uma matriz também é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia.
Matrizes de dados serão muito usadas em econometria, onde cada coluna guardará dados de uma determinada variável aleatória de interesse. Por exemplo, imagine que você quer explicar o salário de um indivíduo usando variáveis relacionadas com o indivíduo. Quais as variáveis que você acredita que podem explicar o salário do indivíduo? Suponha que você acredite que escolaridade, gênero, escolaridade da mãe são variáveis que podem explicar o salário. Então você pode construir uma matriz de dados que inclui essas variáveis em cada coluna.
Em finanças, matrizes também são usadas para guardar payoffs dos ativos em um mercado financeiro. Por exemplo, suponha que o mercado tenha J ativos e seja modelado por S estados. Então, uma matriz de ordem S x J pode ser usada para guardar esses ativos. Veja por exemplo esse modelo nas notas de aula do curso de finanças.
Outras matrizes importantes que aparecem muito em Econometria e Finanças são as Matrizes de Variância-Covariância. Por exemplo, a teoria básica de escolha de carteiras supõe que investidores desejam construir carteiras que possuem altos valores esperados e baixas variâncias. Um conceito fundamental que aparece nesse contexto é a idéia de diversificação. Veja um exemplo simples sobre esse assunto no PRorum.
Tópico 3: Operações Elementares/Sistemas Lineares
Leituras:
[Adilson] Capítulo 3: Seções 3.1, 3.2 e 3.3.
[Simon] Capítulos 6 e 7
[Chiang] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 3.2 a 3.11 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Existem várias aplicações de sistemas lineares em Economia.
Por exemplo, em finanças a solução de sistemas lineares pode ser usada para caracterizar se um mercado financeiro é completo ou incompleto. Veja por exemplo essa caracterização nas notas de aula do curso de finanças.
Uma outra aplicação super interessante é o cálculo do Page Rank ou do modelo de Leontief usado em análise de Insumo-Produto. Veja por exemplo um post sobre esse assunto no PRorum
Tópico 4: Inversa de matrizes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 3: Seção 3.4.
[Simon] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
[Chiang] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 3.12 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
A idéia de inversão de matrizes aparece muito em econometria em vários contextos diferentes. Por exemplo, o estimador mais popular de um Modelo de Regressão Linear, conhecido como método dos mínimos quadrados, dependem explicitamente de uma inversão.
Tópico 5: Determinantes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 5: Seções 5.1, 5.2, 5.3 e 5.5.
[Simon] Capítulos 9 e 26.
[Chiang] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 8.2 a 8.8 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Os determinantes aparecem como ferramenta básica em várias situações no curso de economia. No nosso curso de Economia Quantitativa I, determinantes podem ser usadas como uma ferramenta importante de caracterização de matrizes quadradas. Se o determinante de uma matriz A de ordem n é nulo, o sistema linear Ax=0 possui infinitas soluções, o núcleo de A contém infinitos elementos e a imagem de T(x)=Ax não é o Rn.
No nosso curso também usaremos determinantes também para caracterizar se uma matriz é positiva ou negativa definida e isso será fundamental para verificar as condições de segunda ordem de um problema de otimização interior (sem restrições).
Plano de Estudo de Cálculo e Otimização
Tópico 1: Introdução ao Cálculo Diferencial
Leituras:
[Simon] Capítulo 2, Seção 3.5, Seção 4.1, Capítulo 5.
[Chiang] Capítulo 6
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 3.1 a 3.8 e 4.1 a 4.5 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Aplicações
Cálculo diferencial aparece como ferramenta básica para o estudo de otimização, que é por sua vez uma ferramenta essencial em Microeconomia e Econometria.
Tópico 2: Introdução ao Cálculo Integral
Leituras:
[Simon] Apêndice A4
[Chiang] Seções 13.2 a 13.5
Série de Exercícios: Veja aqui.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 14.1, 14.2 e 15.1 a 15.4 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Aplicações
Cálculo integral aparece como ferramenta básica para o estudo de estatística.
Funções Várias Variáveis, Cálculo de Várias Variáveis, Análise Convexa e Otimização
Para esse plano de estudo, vou focar apenas no livro Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume [Simon]. Também citarei bastante as notas do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme de Lara Resende do Departamento de Economia da UnB, pois existe um link muito forte entre essa parte do curso e o curso de Microeconomia I.
Para motivar essa parte do curso, eu sugiro que antes da aula, vocês leiam a primeira aula do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme, que você pode acessar aqui.
Para essa parte do curso serão usadas as seguintes séries de exercícios:
Funções de Várias Variáveis e Cálculo: Veja aqui.
Análise Convexa: Veja aqui.
Otimização: Veja aqui.
Otimização Interior: Veja aqui.
Otimização com Restrições: Veja aqui.
Tópico 1: Funções Várias Variáveis (Lineares, Formas Quadráticas, Polinômios, Funções Contínuas, Funções Homogêneas e Homotéticas, Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas)
Leituras:
[Simon] Capítulo 13, Capítulo 20: Seções 20.1 e 20.4, Capítulo 21: Seções 21.1, 21.2 e 21.3
Aplicações
Várias das funções apresentadas aqui são usadas extensivamente nos cursos de Economia.
Funções Homogêneas e Homotéticas aparecem por exemplo em Microeconomia I. Por exemplo, a função de Demanda Marshalliana é uma função homogênea de grau 0. Por outra lado, várias funções de utilidade que aparecem no curso de Microeconomia I são homotéticas. Veja as aulas de Microeconomia que apresentam essa informação aqui e aqui.
Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas também aparecem em Microeconomia I. Em geral funções de utilidade são côncavas ou quase-côncavas (quando as preferências forem convexas), curvas de indiferença são (estritamente) convexas etc.
Polinômios quadráticos aparecem em econometria. Veja por exemplo aqui o problema de otimização que precisamos resolver para encontrar os parâmetros de um modelo de regressão linear. Também usaremos polinômios quadráticos em nosso curso para caracterizar as condições de segunda ordem de um problema de otimização interior (sem restrições).
Tópico 2: Derivada parcial/Diferencial
Leituras:
[Simon] Capítulo 14: Seções 14.1 a 14.4 e 14.8
Exercícios repetitivos: Veja Seções 5.1 a 5.3 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Aplicações
Derivadas parciais e diferenciais aparecem em muitos lugares no Curso de Economia. Usamos derivadas para resolver problemas de otimização que será um procedimento comum em Microeconomia I, para definir elasticidades etc. O diferencial total aparece por exemplo na definição da Taxa Marginal de Substituição. Veja exemplo de derivadas e diferenciais totais usados no curso de Microeconomia aqui.
Tópico 3: Cálculo de várias variáveis (Polinomios de Taylor)
Leituras:
[Simon] Seções 30.2 e 30.3
Aplicações
Polinomios de Taylor são usados em várias situações. No nosso curso, usaremos esses polinômios para estudar as condições de segunda ordem de um problema de otimização irrestrito (interior).
Tópico 4: Introdução a Otimização
Leituras:
[Simon] Seção 17.1 e 30.1 (Apenas o tópico relacionado com o Teorema de Weierstrass)
Aplicações
Usamos o teorema de Weierstrass em várias situações em Economia quando desejamos garantir a existência da solução de um problema de otimização, sem precisar especificar a forma da função que desejamos otimizar e/ou resolvê-lo.
No curso de Microeconomia I, pode-se garantir a existência da Função de Utilidade Indireta utilizando o Teorema de Weierstrass sempre que a função de utilidade for contínua.. Veja esse conteúdo nas Notas de Microeconomia I do Professor José Guilherme.
No curso de finanças usamos esse resultado para mostrar que na ausência de arbitragem, sempre existe uma solução para o problema de otimização de carteira. Veja aqui os slides associados a esse teorema.
Otimização em geral é uma ferramenta básica de Microeconomia e Econometria.
Tópico 5: Condições de Primeira Ordem
Leituras:
[Simon] Seções 17.2
Aplicações
Usamos as condições de primeira ordem para encontrar os pontos críticos.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.4 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Tópico 6: Formas Quadráticas e Condições de Segunda Ordem
Leituras:
[Simon] Capítulo 16: Seções 16.1 e 16.2
Aplicações
Usamos as condições de segunda ordem para caracterizar os pontos críticos.
Tópico 7: Otimização de funções Concavas/Convexas
Leituras:
[Simon] Seção 21.5
Aplicações
Como já mencionado, muitas das funções usadas no nosso curso são côncavas ou convexas e elas possuem particularidades que devem ser explicitadas.
Tópico 8: Otimização restrita (Segunda Ordem)
Leituras:
Seção 18.2
Aplicações
O problema do Consumidor estudado em Microeconomia é exatamente um problema desse tipo. Veja aqui a aula do Professor José Guilherme relacionada com esse assunto.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.5 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Plano de Estudo de estatística
Essa parte do curso pretende introduzir noções básicas de estátística que poderão serão usadas em um curso futuro de análise de dados e/ou aplicados diretamente na análise de dados.
A referência principal dessa parte do curso é o livro: Carvalho, Cajueiro e Camargo (2015) Introdução aos métodos estatísticos para economia e finanças. Editora da UnB.
Também sugere-se o uso do livro Coleção Schaum Estatística - Murray R. Spiegel para aqueles que desejam fazer vários exercícios repetitivos que revisam a teoria.
Slides: Veja Série de exercícios para revisão da teoria dada em sala.
Tópico 1: Introdução à estatística
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Capitulo 1
Slides: Veja aqui.
Tópico 2: Estatística descritiva
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Capitulo 2
Slides: Veja aqui.
Tópico 3: Variáveis aleatórias
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Seções 3.1 a 3.3
Distribuição normal de forma intuitiva.
Slides: Veja aqui.
Tópico 4: Variáveis aleatórias multivariadas
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Seções 4.1 a 4.5
Slides: Veja aqui.
Tópico 5: Estimadores
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Seções 5.1 a 5.5
Slides: Veja aqui.
Tópico 6: Testes de hipóteses
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Seções 6.4.1, 6.4.3 e 6.5
Slides: Veja aqui.
Tópico 7: Regressão linear
Leituras:
[Carvalho, Cajueiro e Camargo] Capítulo 8
Slides: Veja aqui.
Thursday, March 9, 2017
Aula 1 de Métodos Computacionais em Economia: Noções de Programação Estruturada
Nós tivemos nossa primeira aula de método computacionais. Esses são os
slides usados em sala de aula.
Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:
Exemplo de Controle de Fluxo usando Condicionais
Exemplo do uso do Loop For em um programa computacional
Exemplo do uso do Loop While em um programa computacional
Referências Adicionais para essa aula:
1. Usuários de Python podem ter interesse em olhar:
Think Python - Allen Downey
2. Usuários de C++ podem ter interesse em olhar:
Think C++
3. Usuários de R podem ter interesse em olhar:
Advanced R - Hadley Wickham
Alguns links externos relacionados com essa aula:
Qual o propósito de incluir "if __name__ == '__main__':" em python?
Como otimização pode me ajudar a encontrar o amor da minha vida?
Computação Humana
Page Rank
Melhores livros de Python
Melhores livros de R
Soluções das séries de exercício:
Questão 1
Questão 2
Questão 3
Questão 4
Questão 5
slides usados em sala de aula.
Abaixo temos os exemplos apresentados em sala de aula:
Exemplo de Controle de Fluxo usando Condicionais
Exemplo do uso do Loop For em um programa computacional
Exemplo do uso do Loop While em um programa computacional
Referências Adicionais para essa aula:
1. Usuários de Python podem ter interesse em olhar:
Think Python - Allen Downey
2. Usuários de C++ podem ter interesse em olhar:
Think C++
3. Usuários de R podem ter interesse em olhar:
Advanced R - Hadley Wickham
Alguns links externos relacionados com essa aula:
Qual o propósito de incluir "if __name__ == '__main__':" em python?
Como otimização pode me ajudar a encontrar o amor da minha vida?
Computação Humana
Page Rank
Melhores livros de Python
Melhores livros de R
Soluções das séries de exercício:
Questão 1
Questão 2
Questão 3
Questão 4
Questão 5
Sunday, February 12, 2017
Como está sendo o Curso de Métodos Computacionais no Programa de Doutorado em Economia da UnB em 2017?
Como já discutido aqui, o curso de métodos computacionais nesse semestre será dividido em três partes: A primeira parte lida com tópicos básicos de programação estruturada e orientação a objeto. A segunda parte com projeto de algoritmos. A terceira parte foca em Aprendizagem de Máquinas e Deep Learning.
A pretensão básica do curso é que o bom estudante depois do curso terá habilidade de lidar com qualquer tópico considerado em aqui, mesmo que o tópico específico não tenha sido discutido em sala.
A versão anterior desse curso, você pode encontrar aqui.
Existem diferenças entre essa nova versão do curso e a versão anterior? Em 2016, não houve tempo para se discutir os modelos bayesianos e também a parte de redes neurais foi muito resumida. Espera-se que essa restrição possa resolvida nesse semestre.
Por favor, dê uma olhada na lista de pré-requisitos (no final do post). Principalmente aquele que vêm do fundo do meu coração.
Abaixo você pode encontrar um sumário dos tópicos que serão discutidos em sala:
PARTE I - Noções de Programação
1) Introdução a programação estruturada
Aula 1
2) Coleções de dados
Aula 2
3) Recursões
Aula 3
4) Noções de programação orientada a objeto
Aula 4
5) Complexidade computacional
Aula 5
6) Pilhas e filas
Aula 6
Parte II - Projeto de algoritmos
1) Força bruta
Aula 7
2) Força bruta II - Busca exaustiva
Aula 8
3) Força bruta III - Busca exaustiva em grafos
Aula 9
4) Redução e conquista
Aula 10
5) Divisão e conquista
Aula 11
6) Transformação e conquista
Aula 12
7) Backtracking
Aula 13
8) Branch and Bound
Aula 14
9) Programação Dinâmica
Aula 15
10) Estratégias Gananciosas
Aula 16
11) Melhoria Iterativa
Aula 17
12) Quick Sort
Aula 18
13) Compromisso entre eficiência temporal e espacial
Aula 19
14) Aula extra de métodos computacionais: Solução da prova de 2016 (Aula gentilmente dada pelo monitor do Curso Cauê Melo)
Aula Extra
INTERLÚDIO
[Ferramentas]
1) Introdução aos Métodos de Monte Carlo
Aula 20
2) Análise numérica e otimização
[Atividade extra-classe]
Aula 21
PARTE III - Aprendizagem de Máquinas (Machine Learning)
1) Introdução a aprendizagem de máquinas
Aula 22
2) Modelos lineares de regressão (Modelos lineares de funções de base)
Aula 23
3) Modelos Bayesianos
Aula 24
4) Previsão (Big picture)
Aula 25
5) Modelos lineares de classificação
Aula 26
6) Redes neurais e deep learning
Aula 27
7) Aprendizagem por reforço
Aula 28
8) Processamento de linguagem natural
Aula 29
AVALIAÇÂO
A primeira parte e a segunda parte será avaliada através de 1 prova e exercícios computacionais individuais. A segunda parte será avaliada através de exercícios computacionais individuais.
REFERÊNCIAS
Existe uma lista gigante de referências por tópico. Existe um resumo dessas referências aqui. Se você quiser uma lista mais detalhada, dê uma olhada nas aulas individuais da nossa versão anterior do curso aqui.
PERGUNTAS FREQUENTES
Esse é um curso para aprender métodos computacionais para econometria?
Não, mas vários tópicos tangenciam problemas similares considerados em econometria. Normalmente, um curso usual de Machine Learning incluiria um tópico com noções básicas de modelos de regressão, mas como esse curso está no programa de economia não faz muito sentido ficar explorando isso. Adicionalmente, como já mencionado, se o estudante aprende bem as partes I e II do curso, ele terá habilidade de lidar com qualquer tópico considerado em aqui. Além disso, as técnicas utilizadas para replicar os exemplos do Wooldridge em Python são triviais se você aprender o conteúdo do curso.
Qual a linguagem que será usada no curso?
De uma forma geral o curso não deve focar em nenhuma linguagem específica. Entretanto, nesse semestre a maioria dos exemplos será em Python, embora você pode encontrar exemplos em R, Matlab, C++, Java desenvolvidos em versões anteriores do curso. A maioria dos exercícios da primeira parte não dependerá especificamente de nenhuma linguagem. Alguns exercícios da segunda parte só poderão ser implementados em Python.
Quais os pre-requisitos para o curso?
Não temos pre-requisitos específicos, mas vários tópicos dependem de conhecimentos de Álgebra-Linear, Otimização e maturidade em matemática, estatística ou econometria equivalente a de um aluno de mestrado em economia de um bom programa.
FROM THE BOTTOM OF MY HEART (o pre-requisito mais importante):
De fato, um pre-requisito fundamental em qualquer curso que leciono é muita disposição para aprender e lidar com coisas novas para resolver novos problemas. Os estudantes devem ter ou desenvolver a capacidade de lidar com um problema novo que estende o material em sala de aula sem a ajuda do professor, tendo em mãos apenas as referências básicas. Essa habilidade muito comum em estudantes da engenharia infelizmente não é muito explorada em estudantes de economia.
Deixar a arrogância em casa para ser capaz de perceber que não sabemos tudo e que existem sempre pessoas com mais conhecimento em um determinado tópico que nós mesmos. Aproveitar desse fato para aprender com os colegas e com o professor àquelas dimensões mais restritas.
Esse é um curso OPTATIVO e lúdico desenhado para o estudante e o professor se divertirem. Se você não está muito motivado com o curso ou acha que o curso não o acrescentará muito e você pretende manter uma atitude negativa e passiva ao longo do curso, existem dezenas de cursos mais adequados para você no programa.
Não sou aluno do Programa de Doutorado em Economia. Eu posso fazer o curso?
Sim. Você pode entrar em contato com a secretária do Programa de Pós-Graduação em Economia da UnB e verificar a disponibilidade de vagas para matrícula como aluno especial.
Posso assistir como ouvinte?
Infelizmente a UnB não permite esse tipo de aluno.
HORÁRIO: TERÇAS E QUINTAS 16 AS 18
Monday, January 23, 2017
Material de apoio ao Curso Economia Quantitativa I
Esse material deve servir de apoio ao curso de Economia Quantitativa I. Os estudantes devem considerar esse material como uma sugestão de estudo. Obviamente, o estudante que ler o material antes da aula aprenderá mais facilmente o assunto.
Plano de Ensino
Pegue seu plano de ensino aqui.
Referências
Veja essa pergunta do PRorum.
Críticas construtivas ao curso
Esse curso é considerado pelos alunos um curso difícil do Departamento de Economia da UnB. Ao longo dos anos (quase 10 anos) muitas sugestões e críticas foram feitas e o curso foi mudando para atender as demandas dos novos alunos e o formato do nosso curso de economia. Essas críticas foram sumarizadas aqui. Antes de pensar porque tal estrutura é diferente da que você esperaria ou gostaria, dê uma olhada nesse link e veja se sua crítica não já foi feita ou implementada ou, ainda, porque ela evoluiu dessa forma. Você também pode usar esse link para fazer suas críticas que serão muito bem vindas. Obviamente a sua implementação vai depender de vários fatores.
Séries de exercícios
Conforme explicitado no plano de ensino, o aluno deverá fazer três tipos de exercícios para aprender bem o conteúdo. O primeiro grupo de exercícios consiste dos exercícios apresentados ainda em sala de aula no quadro, que usualmente complementam o conteúdo de sala de aula. O segundo grupo de exercícios consiste de exercícios que aparecem nas referências apresentadas abaixo. O terceiro grupo de exercícios é formado por séries de exercícios que foram originadas de questões de provas dos semestres anteriores, que os alunos também podem checar as soluções em links disponibilizados em sala de aula ou nas próprias séries de exercícios. Alguns desses exercícios (terceiro grupo) podem ser consideradas difíceis e, por isso, todos têm uma solução. Além do fato que eles fizeram parte de provas anteriores, eles são importantes pois fazem os estudantes pensarem com mais cuidado sobre o que aprenderam. Se você não conseguir resolver todos, não desanime. Escreva cada problema que você não resolveu a primeira vista e tente entendê-lo: (1) Qual a definição usada pare resolver esse problema? Você deveria lembrar dessa definição? (2) Quais propriedades foram usadas? Você deveria conhecer essas propriedades? E agora, você conseguiu? Se ainda não conseguiu, refaça as mesmas perguntas para entender porque não conseguiu.
De fato, ao longo dos semestres, questões interessantes de provas anteriores
foram coletadas nos seguintes ``cadernos'' do PRorum.
Caderno de Álgebra Linear
Caderno de Cálculo de Várias Variáveis, Análise Convexa e Otimização
Esses exercícios foram divididos por tópicos e incluídos em uma série de exercícios que você pode pegar aqui.
O aprendizado da disciplina depende fortemente da disposição do estudante interessado em resolver exercícios por conta própria.
Plano de Estudo de Álgebra Linear
Como dito no plano de ensino, qualquer livro de Álgebra Linear que o aluno se sinta confortável é suficiente para acompanhar o curso. Entretanto, aqui nesse material vamos focar em três livros. O primeiro pela didática e simplicidade, o segundo pela apresentação geométrica e o terceiro pela comodidade (ele será usado praticamente em toda a segunda parte do curso):
Ref1: Introdução à Álgebra Linear - Adilson Gonçalves e Rita M. L. de Souza [Adilson]
Ref2: Introduction to Linear Algebra - Gilbert Strang [Strang]
Ref3: Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume (já disponível em português) [Simon]
É válido mencionar que o livro [Simon] não segue uma ordem muito didática para os assuntos de álgebra linear e não tem uma apresentação adequada de todos os tópicos, mas pode servir como uma excelente referência complementar. Além disso, ele é uma excelente fonte de aplicações.
Tópico 1: Vetores
Leituras:
[Adilson] Capítulo 1 até a seção 1.6
[Adilson] Para ter uma visão geométrica, veja o resto do capítulo 1.
[Simon] Capítulo 10
Exercícios repetitivos: Veja Seções 1.2 a 1.5 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Um vetor é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia. Por exemplo, pode falar em vetor de preços de n coordenadas quando nos referimos a cesta de consumo de n produtos ou a um mercado financeiro com n ativos.
Slides
Aula 1.
Tópico 2: Matrizes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 2
[Simon] Capítulo 8
Exercícios repetitivos: Veja Seções 2.2 a 2.7 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Uma matriz também é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia.
Matrizes de dados serão muito usadas em econometria, onde cada coluna guardará dados de uma determinada variável aleatória de interesse. Por exemplo, imagine que você quer explicar o salário de um indivíduo usando variáveis relacionadas com o indivíduo. Quais as variáveis que você acredita que podem explicar o salário do indivíduo? Suponha que você acredite que escolaridade, gênero, escolaridade da mãe são variáveis que podem explicar o salário. Então você pode construir uma matriz de dados que inclui essas variáveis em cada coluna.
Em finanças, matrizes também são usadas para guardar payoffs dos ativos em um mercado financeiro. Por exemplo, suponha que o mercado tenha J ativos e seja modelado por S estados. Então, uma matriz de ordem S x J pode ser usada para guardar esses ativos. Veja por exemplo esse modelo nas notas de aula do curso de finanças.
Outras matrizes importantes que aparecem muito em Econometria e Finanças são as Matrizes de Variância-Covariância. Por exemplo, a teoria básica de escolha de carteiras supõe que investidores desejam construir carteiras que possuem altos valores esperados e baixas variâncias. Um conceito fundamental que aparece nesse contexto é a idéia de diversificação. Veja um exemplo simples sobre esse assunto no PRorum.
Slides
Aula 2.
Tópico 3: Operações Elementares/Sistemas Lineares
Leituras:
[Adilson] Capítulo 3: Seções 3.1, 3.2 e 3.3.
[Strang] Para uma visão geométrica, veja o Capítulo 1: Seções 1.1 a 1.5.
[Simon] Capítulos 6 e 7
Exercícios repetitivos: Veja Seções 3.2 a 3.11 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Existem várias aplicações de sistemas lineares em Economia.
Por exemplo, em finanças a solução de sistemas lineares pode ser usada para caracterizar se um mercado financeiro é completo ou incompleto. Veja por exemplo essa caracterização nas notas de aula do curso de finanças.
Uma outra aplicação super interessante é o cálculo do Page Rank ou do modelo de Leontief usado em análise de Insumo-Produto. Veja por exemplo um post sobre esse assunto no PRorum
Slides
Aula 3.
Tópico 4: Inversa de matrizes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 3: Seção 3.4.
[Simon] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 3.12 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
A idéia de inversão de matrizes aparece muito em econometria em vários contextos diferentes. Por exemplo, o estimador mais popular de um Modelo de Regressão Linear, conhecido como método dos mínimos quadrados, dependem explicitamente de uma inversão.
Slides
Aula 4.
Tópico 5: Determinantes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 5: Seções 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 e 5.5.
[Simon] Capítulos 9 e 26.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 8.2 a 8.8 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Os determinantes aparecem como ferramenta básica em várias situações no curso de economia. No nosso curso de Economia Quantitativa I, determinantes podem ser usadas como uma ferramenta importante de caracterização de matrizes quadradas. Se o determinante de uma matriz A de ordem n é nulo, o sistema linear Ax=0 possui infinitas soluções, o núcleo de A contém infinitos elementos e a imagem de T(x)=Ax não é o Rn.
No nosso curso também usaremos determinantes também para caracterizar se uma matriz é positiva ou negativa definida e isso será fundamental para verificar as condições de segunda ordem de um problema de otimização interior (sem restrições).
Também usaremos determinantes para calcular os autovalores e autovetores associados a uma transformação linear.
Slides
Aula 5.
Tópico 6: Espaços vetoriais
Leituras:
[Adilson] Capítulo 4: Seções 4.1 a 4.4.
[Simon] Seções 27.1, 27.2 e 27.6
Exercícios repetitivos: Veja Seções 4.2 a 4.8 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Um espaço vetorial é um conjunto com certa estrutura que é usado em muitas situações em economia. A grande maioria dos problemas importantes em economia está definido em espaços vetoriais ou em translações desses espaços, ou seja, a solução pertence a um determinado espaço vetorial ou uma translação desse espaço. Por exemplo, o Rn é um espaço vetorial. A solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial e a solução de um sistema linear não homogêneo é a translação de um subespaço vetorial.
Em finanças, um subespaço vetorial particularmente importante é aquele subespaço gerado pelo payoff de todos os ativos do mercado. Veja aqui a definição exata desse subespaço nas notas de aula do curso de finanças. Qual a relevância de um determinado direito contigente pertencer ou não a esse subespaço? Por exemplo, considerados dados os preços dos ativos, eu consigo encontrar um único preço para qualquer direito contigente que pertence a esse subespaço. Se ele não pertencer, o que ocorre?
Slides
Aula 6.
Tópico 7: Transformações lineares, Operadores Lineares e Funcionais Lineares
Leituras:
[Adilson] Capítulo 6: Seções 6.1, 6.2 e 6.3
[Strang] Para geometria e vários exemplos, veja a Seção 2.6.
[Simon] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 5.2 a 5.4 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Transformações lineares aparecem em muitas situações no curso de economia. No nosso curso, usaremos esse conceito para definir autovalores e autovetores. No curso de finanças, o funcional de apreçamento é um funcional linear. Veja aqui a definição exata desse funcional nas notas de aula do curso de finanças.
Slides
Aula 7.
Tópico 8: Autovalores/Autovetores
Leituras:
[Adilson] Seção 6.6
[Simon] Seção 23.1 [Mas alguns tópicos apresentados em sala, não estão bem apresentados aqui]
Exercícios repetitivos: Veja Seções 9.2 a 9.5 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Existem muitas aplicações em estatística e econometria de autovalores e autovetores. Sem dúvida uma das mais populares são Análise do Componentes Principais e a Solução de Modelos de Séries Temporais Lineares. Uma outra aplicação que também aparecerá no curso de Economia Quantitativa II é a solução de equações diferenciais lineares.
Slides
Aula 8.
Plano de Estudo de Topologia no Rn, Cálculo de Várias Variáveis, Análise Convexa e Otimização
Para esse plano de estudo, vou focar apenas no livro Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume [Simon]. Também citarei bastante as notas do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme de Lara Resende do Departamento de Economia da UnB, que vocês usarão no próximo semestre, pois existe um link muito forte entre essa parte do curso e o curso de Microeconomia I.
Para motivar essa parte do curso, eu sugiro que antes da aula, vocês leiam a primeira aula do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme, que você pode acessar aqui.
Tópico 1: Topologia no RN
Leituras:
[Simon] Capítulo 12
Aplicações
Vários dos conjuntos definidos aqui nesse tópico serão usados em vários lugares do curso de economia. Por exemplo, a noção de conjuntos compactos será usada para a discussão do teorema de Weierstrass, que aparece no tópico 7 (a seguir). Em microeconomia I, por exemplo, a noção de conjuntos fechados é usada para discutir o axioma de continuidade na aula sobre Preferências. Veja por exemplo as notas de aula do Professor José Guilherme associada a esse tópico aqui.
Slides
Aula 1.
Tópico 2: Funções Várias Variáveis (Lineares, Formas Quadráticas, Polinômios, Funções Contínuas, Funções Homogêneas e Homotéticas, Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas)
Leituras:
[Simon] Capítulo 13, Capítulo 20: Seções 20.1 e 20.4, Capítulo 21: Seções 21.1, 21.2 e 21.3
Aplicações
Várias das funções apresentadas aqui são usadas extensivamente nos cursos de Economia.
Funções Homogêneas e Homotéticas aparecem por exemplo em Microeconomia I. Por exemplo, a função de Demanda Marshalliana é uma função homogênea de grau 0. Por outra lado, várias funções de utilidade que aparecem no curso de Microeconomia I são homotéticas. Veja as aulas de Microeconomia que apresentam essa informação aqui e aqui.
Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas também aparecem em Microeconomia I. Em geral funções de utilidade são côncavas ou quase-côncavas (quando as preferências forem convexas), curvas de indiferença são (estritamente) convexas etc.
Polinômios quadráticos aparecem em econometria. Veja por exemplo aqui o problema de otimização que precisamos resolver para encontrar os parâmetros de um modelo de regressão linear. Também usaremos polinômios quadráticos em nosso curso para caracterizar as condições de segunda ordem de um problema de otimização interior (sem restrições).
Slides
Aula 2.
Tópico 3: Derivada parcial/Diferencial
Leituras:
[Simon] Capítulo 14: Seções 14.1 a 14.4 e 14.8
Exercícios repetitivos: Veja Seções 5.1 a 5.3 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Aplicações
Derivadas parciais e diferenciais aparecem em muitos lugares no Curso de Economia. Usamos derivadas para resolver problemas de otimização que será um procedimento comum em Microeconomia I, para definir elasticidades etc. O diferencial total aparece por exemplo na definição da Taxa Marginal de Substituição. Veja exemplo de derivadas e diferenciais totais usados no curso de Microeconomia aqui.
Slides
Aulas 3, 4, 5 e 6.
Tópico 4: Cálculo de várias variáveis (Regra da cadeia)
Leituras:
[Simon] Seção 14.5
Aplicações
É uma ferramenta básica de cálculo que aparece em vários contextos. Por exemplo, no Estudo da Teoria do Consumidor em Microeconomia usamos essa "regra" para derivar por exemplo a equação de homogeneidade. Veja aqui.
Tópico 5: Cálculo de várias variáveis (Polinomios de Taylor)
Leituras:
[Simon] Seções 30.2 e 30.3
Aplicações
Polinomios de Taylor são usados em várias situações. No nosso curso, usaremos esses polinômios para estudar as condições de segunda ordem de um problema de otimização irrestrito (interior).
Tópico 6: Cálculo de várias variáveis (Funções implícitas)
Leituras:
[Simon] Seção 15.1
Aplicações
Funções implícitas aparecem em várias situações. Veja por exemplo aqui.
Tópico 7: Formas Quadráticas
Leituras:
[Simon] Capítulo 16: Seções 16.1 e 16.2
Aplicações
Usamos as condições de segunda ordem para caracterizar os pontos críticos.
Slides
Aula 7.
Tópico 8: Convexidade
Leituras:
[Simon] Seção 21.1 a 21.3
Aplicações
Como já mencionado, muitas das funções usadas no nosso curso são côncavas ou convexas e elas possuem particularidades que devem ser explicitadas.
Slides
Aula 8.
Tópico 9: Introdução a Otimização
Leituras:
[Simon] Seção 17.1 e 30.1 (Apenas o tópico relacionado com o Teorema de Weierstrass)
Aplicações
Usamos o teorema de Weierstrass em várias situações em Economia quando desejamos garantir a existência da solução de um problema de otimização, sem precisar especificar a forma da função que desejamos otimizar e/ou resolvê-lo.
No curso de Microeconomia I, pode-se garantir a existência da Função de Utilidade Indireta utilizando o Teorema de Weierstrass sempre que a função de utilidade for contínua.. Veja esse conteúdo nas Notas de Microeconomia I do Professor José Guilherme.
No curso de finanças usamos esse resultado para mostrar que na ausência de arbitragem, sempre existe uma solução para o problema de otimização de carteira. Veja aqui os slides associados a esse teorema.
Otimização em geral é uma ferramenta básica de Microeconomia e Econometria.
Slides
Aulas 9, 10 12.
Tópico 10: Otimização interior
Leituras:
[Simon] Seções 17.2, 17.3, 16.2, 21.5
Aplicações
Usamos as condições de primeira ordem para encontrar os pontos críticos.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.4 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Tópico 11: Otimização com restrições
Leituras:
Seção 18.2
Aplicações
O problema do Consumidor estudado em Microeconomia é exatamente um problema desse tipo. Veja aqui a aula do Professor José Guilherme relacionada com esse assunto.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.5 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Slides
Aulas 11 e 12.
Tópico 12: Teorema do Envelope
Leituras:
[Simon] Seções 19.1 e 19.2
Aplicações
Existem em Microeconomia várias aplicações do teorema do Envelope.
Plano de Ensino
Pegue seu plano de ensino aqui.
Referências
Veja essa pergunta do PRorum.
Críticas construtivas ao curso
Esse curso é considerado pelos alunos um curso difícil do Departamento de Economia da UnB. Ao longo dos anos (quase 10 anos) muitas sugestões e críticas foram feitas e o curso foi mudando para atender as demandas dos novos alunos e o formato do nosso curso de economia. Essas críticas foram sumarizadas aqui. Antes de pensar porque tal estrutura é diferente da que você esperaria ou gostaria, dê uma olhada nesse link e veja se sua crítica não já foi feita ou implementada ou, ainda, porque ela evoluiu dessa forma. Você também pode usar esse link para fazer suas críticas que serão muito bem vindas. Obviamente a sua implementação vai depender de vários fatores.
Séries de exercícios
Conforme explicitado no plano de ensino, o aluno deverá fazer três tipos de exercícios para aprender bem o conteúdo. O primeiro grupo de exercícios consiste dos exercícios apresentados ainda em sala de aula no quadro, que usualmente complementam o conteúdo de sala de aula. O segundo grupo de exercícios consiste de exercícios que aparecem nas referências apresentadas abaixo. O terceiro grupo de exercícios é formado por séries de exercícios que foram originadas de questões de provas dos semestres anteriores, que os alunos também podem checar as soluções em links disponibilizados em sala de aula ou nas próprias séries de exercícios. Alguns desses exercícios (terceiro grupo) podem ser consideradas difíceis e, por isso, todos têm uma solução. Além do fato que eles fizeram parte de provas anteriores, eles são importantes pois fazem os estudantes pensarem com mais cuidado sobre o que aprenderam. Se você não conseguir resolver todos, não desanime. Escreva cada problema que você não resolveu a primeira vista e tente entendê-lo: (1) Qual a definição usada pare resolver esse problema? Você deveria lembrar dessa definição? (2) Quais propriedades foram usadas? Você deveria conhecer essas propriedades? E agora, você conseguiu? Se ainda não conseguiu, refaça as mesmas perguntas para entender porque não conseguiu.
De fato, ao longo dos semestres, questões interessantes de provas anteriores
foram coletadas nos seguintes ``cadernos'' do PRorum.
Caderno de Álgebra Linear
Caderno de Cálculo de Várias Variáveis, Análise Convexa e Otimização
Esses exercícios foram divididos por tópicos e incluídos em uma série de exercícios que você pode pegar aqui.
O aprendizado da disciplina depende fortemente da disposição do estudante interessado em resolver exercícios por conta própria.
Plano de Estudo de Álgebra Linear
Como dito no plano de ensino, qualquer livro de Álgebra Linear que o aluno se sinta confortável é suficiente para acompanhar o curso. Entretanto, aqui nesse material vamos focar em três livros. O primeiro pela didática e simplicidade, o segundo pela apresentação geométrica e o terceiro pela comodidade (ele será usado praticamente em toda a segunda parte do curso):
Ref1: Introdução à Álgebra Linear - Adilson Gonçalves e Rita M. L. de Souza [Adilson]
Ref2: Introduction to Linear Algebra - Gilbert Strang [Strang]
Ref3: Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume (já disponível em português) [Simon]
É válido mencionar que o livro [Simon] não segue uma ordem muito didática para os assuntos de álgebra linear e não tem uma apresentação adequada de todos os tópicos, mas pode servir como uma excelente referência complementar. Além disso, ele é uma excelente fonte de aplicações.
Tópico 1: Vetores
Leituras:
[Adilson] Capítulo 1 até a seção 1.6
[Adilson] Para ter uma visão geométrica, veja o resto do capítulo 1.
[Simon] Capítulo 10
Exercícios repetitivos: Veja Seções 1.2 a 1.5 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Um vetor é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia. Por exemplo, pode falar em vetor de preços de n coordenadas quando nos referimos a cesta de consumo de n produtos ou a um mercado financeiro com n ativos.
Slides
Aula 1.
Tópico 2: Matrizes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 2
[Simon] Capítulo 8
Exercícios repetitivos: Veja Seções 2.2 a 2.7 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Uma matriz também é uma entidade básica de representação em matemática que aparece em muitas situações em economia.
Matrizes de dados serão muito usadas em econometria, onde cada coluna guardará dados de uma determinada variável aleatória de interesse. Por exemplo, imagine que você quer explicar o salário de um indivíduo usando variáveis relacionadas com o indivíduo. Quais as variáveis que você acredita que podem explicar o salário do indivíduo? Suponha que você acredite que escolaridade, gênero, escolaridade da mãe são variáveis que podem explicar o salário. Então você pode construir uma matriz de dados que inclui essas variáveis em cada coluna.
Em finanças, matrizes também são usadas para guardar payoffs dos ativos em um mercado financeiro. Por exemplo, suponha que o mercado tenha J ativos e seja modelado por S estados. Então, uma matriz de ordem S x J pode ser usada para guardar esses ativos. Veja por exemplo esse modelo nas notas de aula do curso de finanças.
Outras matrizes importantes que aparecem muito em Econometria e Finanças são as Matrizes de Variância-Covariância. Por exemplo, a teoria básica de escolha de carteiras supõe que investidores desejam construir carteiras que possuem altos valores esperados e baixas variâncias. Um conceito fundamental que aparece nesse contexto é a idéia de diversificação. Veja um exemplo simples sobre esse assunto no PRorum.
Slides
Aula 2.
Tópico 3: Operações Elementares/Sistemas Lineares
Leituras:
[Adilson] Capítulo 3: Seções 3.1, 3.2 e 3.3.
[Strang] Para uma visão geométrica, veja o Capítulo 1: Seções 1.1 a 1.5.
[Simon] Capítulos 6 e 7
Exercícios repetitivos: Veja Seções 3.2 a 3.11 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Existem várias aplicações de sistemas lineares em Economia.
Por exemplo, em finanças a solução de sistemas lineares pode ser usada para caracterizar se um mercado financeiro é completo ou incompleto. Veja por exemplo essa caracterização nas notas de aula do curso de finanças.
Uma outra aplicação super interessante é o cálculo do Page Rank ou do modelo de Leontief usado em análise de Insumo-Produto. Veja por exemplo um post sobre esse assunto no PRorum
Slides
Aula 3.
Tópico 4: Inversa de matrizes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 3: Seção 3.4.
[Simon] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 3.12 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
A idéia de inversão de matrizes aparece muito em econometria em vários contextos diferentes. Por exemplo, o estimador mais popular de um Modelo de Regressão Linear, conhecido como método dos mínimos quadrados, dependem explicitamente de uma inversão.
Slides
Aula 4.
Tópico 5: Determinantes
Leituras:
[Adilson] Capítulo 5: Seções 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 e 5.5.
[Simon] Capítulos 9 e 26.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 8.2 a 8.8 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Os determinantes aparecem como ferramenta básica em várias situações no curso de economia. No nosso curso de Economia Quantitativa I, determinantes podem ser usadas como uma ferramenta importante de caracterização de matrizes quadradas. Se o determinante de uma matriz A de ordem n é nulo, o sistema linear Ax=0 possui infinitas soluções, o núcleo de A contém infinitos elementos e a imagem de T(x)=Ax não é o Rn.
No nosso curso também usaremos determinantes também para caracterizar se uma matriz é positiva ou negativa definida e isso será fundamental para verificar as condições de segunda ordem de um problema de otimização interior (sem restrições).
Também usaremos determinantes para calcular os autovalores e autovetores associados a uma transformação linear.
Slides
Aula 5.
Tópico 6: Espaços vetoriais
Leituras:
[Adilson] Capítulo 4: Seções 4.1 a 4.4.
[Simon] Seções 27.1, 27.2 e 27.6
Exercícios repetitivos: Veja Seções 4.2 a 4.8 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Um espaço vetorial é um conjunto com certa estrutura que é usado em muitas situações em economia. A grande maioria dos problemas importantes em economia está definido em espaços vetoriais ou em translações desses espaços, ou seja, a solução pertence a um determinado espaço vetorial ou uma translação desse espaço. Por exemplo, o Rn é um espaço vetorial. A solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial e a solução de um sistema linear não homogêneo é a translação de um subespaço vetorial.
Em finanças, um subespaço vetorial particularmente importante é aquele subespaço gerado pelo payoff de todos os ativos do mercado. Veja aqui a definição exata desse subespaço nas notas de aula do curso de finanças. Qual a relevância de um determinado direito contigente pertencer ou não a esse subespaço? Por exemplo, considerados dados os preços dos ativos, eu consigo encontrar um único preço para qualquer direito contigente que pertence a esse subespaço. Se ele não pertencer, o que ocorre?
Slides
Aula 6.
Tópico 7: Transformações lineares, Operadores Lineares e Funcionais Lineares
Leituras:
[Adilson] Capítulo 6: Seções 6.1, 6.2 e 6.3
[Strang] Para geometria e vários exemplos, veja a Seção 2.6.
[Simon] Não tem uma apresentação adequada desse tópico.
Exercícios repetitivos: Veja Seções 5.2 a 5.4 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Transformações lineares aparecem em muitas situações no curso de economia. No nosso curso, usaremos esse conceito para definir autovalores e autovetores. No curso de finanças, o funcional de apreçamento é um funcional linear. Veja aqui a definição exata desse funcional nas notas de aula do curso de finanças.
Slides
Aula 7.
Tópico 8: Autovalores/Autovetores
Leituras:
[Adilson] Seção 6.6
[Simon] Seção 23.1 [Mas alguns tópicos apresentados em sala, não estão bem apresentados aqui]
Exercícios repetitivos: Veja Seções 9.2 a 9.5 do Schaum's Outline of Linear Algebra - Seymour Lipschutz and Marc Lipson.
Aplicações
Existem muitas aplicações em estatística e econometria de autovalores e autovetores. Sem dúvida uma das mais populares são Análise do Componentes Principais e a Solução de Modelos de Séries Temporais Lineares. Uma outra aplicação que também aparecerá no curso de Economia Quantitativa II é a solução de equações diferenciais lineares.
Slides
Aula 8.
Plano de Estudo de Topologia no Rn, Cálculo de Várias Variáveis, Análise Convexa e Otimização
Para esse plano de estudo, vou focar apenas no livro Mathematics for Economists - Carl P. Simon and Lawrence E. Blume [Simon]. Também citarei bastante as notas do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme de Lara Resende do Departamento de Economia da UnB, que vocês usarão no próximo semestre, pois existe um link muito forte entre essa parte do curso e o curso de Microeconomia I.
Para motivar essa parte do curso, eu sugiro que antes da aula, vocês leiam a primeira aula do curso de Microeconomia I do Professor José Guilherme, que você pode acessar aqui.
Tópico 1: Topologia no RN
Leituras:
[Simon] Capítulo 12
Aplicações
Vários dos conjuntos definidos aqui nesse tópico serão usados em vários lugares do curso de economia. Por exemplo, a noção de conjuntos compactos será usada para a discussão do teorema de Weierstrass, que aparece no tópico 7 (a seguir). Em microeconomia I, por exemplo, a noção de conjuntos fechados é usada para discutir o axioma de continuidade na aula sobre Preferências. Veja por exemplo as notas de aula do Professor José Guilherme associada a esse tópico aqui.
Slides
Aula 1.
Tópico 2: Funções Várias Variáveis (Lineares, Formas Quadráticas, Polinômios, Funções Contínuas, Funções Homogêneas e Homotéticas, Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas)
Leituras:
[Simon] Capítulo 13, Capítulo 20: Seções 20.1 e 20.4, Capítulo 21: Seções 21.1, 21.2 e 21.3
Aplicações
Várias das funções apresentadas aqui são usadas extensivamente nos cursos de Economia.
Funções Homogêneas e Homotéticas aparecem por exemplo em Microeconomia I. Por exemplo, a função de Demanda Marshalliana é uma função homogênea de grau 0. Por outra lado, várias funções de utilidade que aparecem no curso de Microeconomia I são homotéticas. Veja as aulas de Microeconomia que apresentam essa informação aqui e aqui.
Funções Côncavas, Funções Convexas, Funções Quase-Côncavas e Funções Quase-Convexas também aparecem em Microeconomia I. Em geral funções de utilidade são côncavas ou quase-côncavas (quando as preferências forem convexas), curvas de indiferença são (estritamente) convexas etc.
Polinômios quadráticos aparecem em econometria. Veja por exemplo aqui o problema de otimização que precisamos resolver para encontrar os parâmetros de um modelo de regressão linear. Também usaremos polinômios quadráticos em nosso curso para caracterizar as condições de segunda ordem de um problema de otimização interior (sem restrições).
Slides
Aula 2.
Tópico 3: Derivada parcial/Diferencial
Leituras:
[Simon] Capítulo 14: Seções 14.1 a 14.4 e 14.8
Exercícios repetitivos: Veja Seções 5.1 a 5.3 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Aplicações
Derivadas parciais e diferenciais aparecem em muitos lugares no Curso de Economia. Usamos derivadas para resolver problemas de otimização que será um procedimento comum em Microeconomia I, para definir elasticidades etc. O diferencial total aparece por exemplo na definição da Taxa Marginal de Substituição. Veja exemplo de derivadas e diferenciais totais usados no curso de Microeconomia aqui.
Slides
Aulas 3, 4, 5 e 6.
Tópico 4: Cálculo de várias variáveis (Regra da cadeia)
Leituras:
[Simon] Seção 14.5
Aplicações
É uma ferramenta básica de cálculo que aparece em vários contextos. Por exemplo, no Estudo da Teoria do Consumidor em Microeconomia usamos essa "regra" para derivar por exemplo a equação de homogeneidade. Veja aqui.
Tópico 5: Cálculo de várias variáveis (Polinomios de Taylor)
Leituras:
[Simon] Seções 30.2 e 30.3
Aplicações
Polinomios de Taylor são usados em várias situações. No nosso curso, usaremos esses polinômios para estudar as condições de segunda ordem de um problema de otimização irrestrito (interior).
Tópico 6: Cálculo de várias variáveis (Funções implícitas)
Leituras:
[Simon] Seção 15.1
Aplicações
Funções implícitas aparecem em várias situações. Veja por exemplo aqui.
Tópico 7: Formas Quadráticas
Leituras:
[Simon] Capítulo 16: Seções 16.1 e 16.2
Aplicações
Usamos as condições de segunda ordem para caracterizar os pontos críticos.
Slides
Aula 7.
Tópico 8: Convexidade
Leituras:
[Simon] Seção 21.1 a 21.3
Aplicações
Como já mencionado, muitas das funções usadas no nosso curso são côncavas ou convexas e elas possuem particularidades que devem ser explicitadas.
Slides
Aula 8.
Tópico 9: Introdução a Otimização
Leituras:
[Simon] Seção 17.1 e 30.1 (Apenas o tópico relacionado com o Teorema de Weierstrass)
Aplicações
Usamos o teorema de Weierstrass em várias situações em Economia quando desejamos garantir a existência da solução de um problema de otimização, sem precisar especificar a forma da função que desejamos otimizar e/ou resolvê-lo.
No curso de Microeconomia I, pode-se garantir a existência da Função de Utilidade Indireta utilizando o Teorema de Weierstrass sempre que a função de utilidade for contínua.. Veja esse conteúdo nas Notas de Microeconomia I do Professor José Guilherme.
No curso de finanças usamos esse resultado para mostrar que na ausência de arbitragem, sempre existe uma solução para o problema de otimização de carteira. Veja aqui os slides associados a esse teorema.
Otimização em geral é uma ferramenta básica de Microeconomia e Econometria.
Slides
Aulas 9, 10 12.
Tópico 10: Otimização interior
Leituras:
[Simon] Seções 17.2, 17.3, 16.2, 21.5
Aplicações
Usamos as condições de primeira ordem para encontrar os pontos críticos.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.4 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Tópico 11: Otimização com restrições
Leituras:
Seção 18.2
Aplicações
O problema do Consumidor estudado em Microeconomia é exatamente um problema desse tipo. Veja aqui a aula do Professor José Guilherme relacionada com esse assunto.
Exercícios repetitivos: Veja Seção 5.5 do Schaum's Outline of Introduction to Mathematical Economics - Dowling.
Slides
Aulas 11 e 12.
Tópico 12: Teorema do Envelope
Leituras:
[Simon] Seções 19.1 e 19.2
Aplicações
Existem em Microeconomia várias aplicações do teorema do Envelope.
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